Nur zu Prüfzwecken – Eigentum der Westermann Gruppe
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Nur zu Prüfzwecken – Eigentum der Westermann Gruppe Mittelschule Bayern Passend zum LehrplanPLUS Erarbeitet von Benjamin Friedrich, Ebern Jürgen Golenia, Köln Monika Tremel, Lichtenfels
Nur zu Prüfzwecken – Eigentum der Westermann Gruppe 2 Grundlagen ........................................... 4 Schreibweisen........................................ 4 Begriffe der Grundrechenarten .............. 5 Brüche ................................................... 5 Brüche umformen .................................. 6 Stellenwerttafel mit Dezimalzahlen ....... 7 Dezimalzahlen runden ........................... 7 Größen und Maßeinheiten ..................... 8 Bezeichnungen bei technischen Anwendungen ................................... 9 Rechenregeln ...................................... 10 Mit Brüchen rechnen ............................ 10 Mit Dezimalzahlen rechnen .................. 11 Rechenregeln bei Termen .................... 12 Vorzeichenregeln ................................. 12 Rechengesetze ..................................... 13 Multiplikation von Summen und Differenzen M .................................. 14 Binomische Formeln M ........................ 14 Prozent % ............................................ 15 Promille ............................................... 15 Prozentrechnung mit dem Dreisatz .... 16 Grundaufgaben .................................... 16 Preiserhöhung und Preisreduzierung ... 17 Prozentrechnung mit Formeln ............ 18 Grundaufgaben .................................... 18 Preiserhöhung und Preisreduzierung ... 18 Grundlagen der Zinsrechnung ............. 19 Zinsrechnung mit Formeln „mit der 100“ ................................... 19 Zinseszinsen ........................................ 20 Prozentrechnung mit dem Faktor M ... 21 Formeln zur Prozentrechnung „ohne die 100“ M ............................. 21 Zinsrechnung mit dem Faktor M........... 22 Zinseszinsen mit dem Faktor M ............ 23 Potenzen .............................................. 24 Wurzeln ................................................ 25 Logarithmus M ..................................... 26 Exponentielle Wachstums- und Abnahmeprozesse M ....................... 27 Radioaktiver Zerfall und Halbwertszeit (HWZ) M .................... 29 Grundlagen und Rechenregeln Prozent, Promille, Zins Potenzen, Wurzeln, Wachstum
Nur zu Prüfzwecken – Eigentum der Westermann Gruppe 3 Terme vereinfachen ............................. 31 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme ........................................... 32 Bruchgleichungen M ............................ 36 Quadratische Gleichungen M ............... 37 Zuordnungen ....................................... 38 Lineare Funktionen M........................... 41 Quadratische Funktionen M ................. 45 Geometrische Grundelemente ............. 50 Winkel .................................................. 51 Grundkonstruktionen .......................... 53 Ähnlichkeit M ....................................... 55 Figuren im Maßstab vergrößern und verkleinern ........................................... 55 Zentrische Streckung M ........................ 56 Strahlensätze M ................................... 57 Dreiecke .............................................. 58 Dreiecksarten ....................................... 58 Winkelsumme im Dreieck ..................... 58 Dreiecke konstruieren .......................... 59 Berechnungen am Dreieck ................... 60 Sätze am rechtwinkligen Dreieck ....... 61 Satz des Pythagoras ............................. 61 Höhensatz M ........................................ 61 Kathetensatz M .................................... 62 Satz des Thales M ................................. 62 Sinus, Kosinus, Tangens M .................. 63 Seitenlängen und Winkel berechnen M ................................... 64 Sinusfunktion M ................................... 65 Vierecke und Vielecke ......................... 66 Allgemeines Viereck ............................. 66 Winkelsumme ...................................... 66 Vierecksarten ....................................... 66 Vierecke zeichnen ................................ 68 Regelmäßige Vielecke (n-Ecke) ............ 69 Kreis .................................................... 71 Kreisring .............................................. 71 Kreisbogen und Kreissektor ................. 71 Körper ................................................. 72 Würfel .................................................. 72 Quader ................................................. 73 Prismen (gerade Säulen) ...................... 74 Zylinder................................................ 76 Pyramiden ........................................... 77 Kegel .................................................... 78 Schrägbilder von stehenden Körpern ... 79 Kugel M ................................................ 80 Zusammengesetzte Körper .................. 80 Statistische Kennwerte ........................ 81 Häufigkeit ............................................ 81 Wahrscheinlichkeit............................... 82 Mehrstufige Zufallsexperimente M ....... 83 Kombinatorik M ................................... 84 Stichwortverzeichnis .......................... 85 Terme, Gleichungen, Funktionen Geometrie Daten und Zufall
Nur zu Prüfzwecken – Eigentum der Westermann Gruppe 4 Grundlagen und Rechenregeln Grundlagen Schreibweisen = ist gleich +, − plus; minus ≈ ungefähr gleich × mal (multipliziert mit) ≠ ungleich ÷ geteilt durch (dividiert durch) ≙ entspricht % Prozent <, > kleiner als; größer als ‰ Promille ≤ bzw. ≦ kleiner oder gleich ⇒ daraus folgt; wenn …, dann … ≥ bzw. ≧ größer oder gleich ⇔ äquivalent; genau dann, wenn … |a| (absoluter) Betrag von a ak Potenz („a hoch k“) √ __ a Quadratwurzel aus a n √ __ a n-te Wurzel aus a lg x; log x Zehnerlogarithmus von x (Basis 10) logax Logarithmus von x zur Basis a a _ b Bruch mit Zähler a und Nenner b G Grundwert sin Sinus P Prozentwert cos Kosinus p Prozentsatz tan Tangens a, b, ... Strecken oder Geraden a, b, ... P, A, … Punkte P, A, …, auch Eckpunkte ___ AB Strecke mit Endpunkten A und B P (x | y) Punkt mit Koordinaten x und y | ___ AB | Länge der Strecke ___ AB ⟂ senkrecht auf, senkrecht zu AB Gerade durch A und B ∥ parallel zu g, h Geraden g und h u Umfang (Kleinbuchstabe) [AB Halbgerade durch B mit dem A Flächeninhalt Anfangspunkt A V Volumen α, β, γ, δ … Winkel bzw. Maße von Winkeln ⦝ rechter Winkel (90°) ∢BAC gegen den Uhrzeigersinn gemessener Winkel BAC zwischen den Schenkeln [AB und [AC mit dem Scheitelpunkt A; auch das Maß des Winkels ℕ Menge der natürlichen Zahlen ℕ0 Menge der natürlichen Zahlen mit Null ℤ Menge der ganzen Zahlen ℚ Menge der rationalen Zahlen ℝ Menge der reellen Zahlen ℝ+ Menge der positiven reellen Zahlen {a; b; c} Menge in aufzählender Form G Grundmenge oder { } leere Menge L Lösungsmenge M1 M2 Restmenge; „M1 ohne M2“ D Definitionsmenge ∈ Element von ∉ nicht Element von
Nur zu Prüfzwecken – Eigentum der Westermann Gruppe 5 Grundlagen und Rechenregeln Begriffe der Grundrechenarten Addition Summe → Summand + Summand = Wert der Summe 6 + 3 6 3 9 Subtraktion Differenz → Minuend − Subtrahend = Wert der Differenz 6 − 3 6 3 9 Multiplikation Produkt → 1. Faktor × 2. Faktor = Wert des Produkts 6×3 6 3 9 Division Quotient → Dividend ÷ Divisor = Wert des Quotienten 6÷3 6 3 9 Brüche Echte Brüche • Der Zähler gibt an, wie viele Teile man nimmt. • Der Nenner gibt an, in wie viele Teile ein Ganzes geteilt wird. • Der Nenner eines Bruches darf nie Null sein. • Beim Kehrbruch vertauschst du Zähler und Nenner: • Kehrbrüche verwendest du beim Dividieren durch einen Bruch. Zähler 3 _ 8 Bruchstrich Nenner Bruch: 3 _ 8 → Kehrbruch: 8 _ 3 Unechte Brüche und gemischte Zahlen • Bei unechten Brüchen ist der Zähler größer als der Nenner. • Bei gemischten Zahlen steht eine ganze Zahl vor einem Bruch. • Ein unechter Bruch kann als gemischte Zahl geschrieben werden. Eine gemischte Zahl kann in einen unechten Bruch umgewandelt werden. Wandle 13 __ 4 in eine gemischte Zahl um. 13 _ 4 = 12 _ 4 + 1 _ 4 = 3 + 1 _ 4 = 3 1 _ 4 1 43 13 4 Wandle 3 1 __ 4 in einen Bruch um. 3 1 _ 4 = 4 _ 4 + 4 _ 4 + 4 _ 4 + 1 _ 4 = 13 _ 4 Lies: drei Achtel
Nur zu Prüfzwecken – Eigentum der Westermann Gruppe 6 Grundlagen und Rechenregeln Brüche umformen Brüche erweitern a _ b = a×c _ b×c Multipliziere Zähler und Nenner mit dem gleichen Faktor. Der Wert des Bruches bleibt gleich. 2 _ 5 = 2×4 _ 5×4 = 8 _ 20 2 _ 5 ×4 ×4 8 _ 20 Brüche kürzen a _ b = a÷c _ b÷c Dividiere Zähler und Nenner durch den gleichen Divisor. Der Wert des Bruches bleibt gleich. 8 _ 20 = 8÷4 _ 20÷4 = 2 _ 5 8 _ 20 ÷4 ÷4 2 _ 5 Brüche gleichnamig machen Sind Zähler und Nenner verschieden, werden die Brüche durch Erweitern oder Kürzen auf den gleichen Nenner gebracht. Man nennt das „gleichnamig machen“. • Mit Vielfachenreihen findet man den kleinsten gemeinsamen Nenner. Man nennt ihn „Hauptnenner“. • Auch das Produkt der einzelnen Nenner ist ein gemeinsamer Nenner. Bringe die Brüche 5 __ 8 ; 3 __ 4 und 2 __ 3 auf einen gemeinsamen Nenner. • Bilde Vielfachenreihen: 8, 16, 24, 32 .. 4, 8, 12, 16, 20, 24, … 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, … Der Hauptnenner ist 24. 5 _ 8 = 15 _ 24 ; 3 _ 4 = 18 _ 24 ; 2 _ 3 = 16 _ 24 • Das Produkt der drei Nenner 8×4×3 ist 96. Du kannst also auch 96 als gemeinsamen Nenner wählen.
Nur zu Prüfzwecken – Eigentum der Westermann Gruppe 7 Grundlagen und Rechenregeln Stellenwerttafel mit Dezimalzahlen (Dezimalbrüchen) Vor dem Komma, also links davon, stehen die Einer (E), Zehner (Z), Hunderter (H) usw. Nach dem Komma, stehen erst Zehntel (z), dann Hundertstel (h), Tausendstel (t) usw. Dezimalzahl Zehner Einer Zehntel Hundertstel Tausendstel 1 __ 10 1 ___ 100 1 ____ 1 000 Z E, z h t 2,179 2, 1 7 9 2 + 1 __ 10 + 7 ___ 100 + 9 ____ 1 000 57,801 5 7, 8 0 1 57 + 8 __ 10 + 1 ____ 1 000 Zehntel (z), Hundertstel (h) und Tausendstel (t) können auch als Brüche mit den Nennern 10, 100 oder 1 000 geschrieben werden. >Lies die Stellen nach dem Komma immer einzeln, der Reihe nach. 2,179 Sprich: zwei Komma eins sieben neun 17,801 Sprich: siebzehn Komma acht null eins Dezimalzahlen runden Rundungsregel: Die Ziffer rechts neben der Rundungsstelle entscheidet. Bei 0, 1, 2, 3, 4 → abrunden Bei 5, 6, 7, 8, 9 → aufrunden Runde 19,536 auf Zehntel. Z E, z h t 1 9, 5 3 6 Rundungsstelle 3, also abrunden Schreibe: 19,536 ≈ 19,5 Sprich: 19,536 ist ungefähr 19,5 Runde 19,536 auf Hundertstel. Z E, z h t 1 9, 5 3 6 Rundungsstelle 6, also aufrunden Erhöhe die Rundungsstelle um 1. Schreibe: 19,536 ≈ 19,54 Sprich: 19,536 ist ungefähr 19,54 Runde 19,536 auf Einer (Ganze). Rundungsstelle 5, also aufrunden. Erhöhe die Rundungsstelle um 1. Schreibe: 19,536 ≈ 20 Sprich: 19,536 ist ungefähr 20 2 Ganze plus 1 Zehntel plus 7 Hundertstel plus 9 Tausendstel Wird eine 9 aufgerundet, wird sie zur „10“. Daher wird die Rundungsstelle 0 und die Stelle links daneben wird um 1 erhöht.
Nur zu Prüfzwecken – Eigentum der Westermann Gruppe 8 Grundlagen und Rechenregeln Größen und Maßeinheiten Du kannst das Komma bei den Einheiten auf dieser Seite immer um so viele Stellen verschieben, wie die Umrechnungszahl Nullen hat. Achte auf die Richtung. Umwandeln in die nächstkleinere Einheit: Die Maßzahl wird größer. Umwandeln in die nächstgrößere Einheit: Die Maßzahl wird kleiner. Länge: Umrechnungszahl 10 1 m = 1 0 dm 1 dm = 1 0 cm 1 cm = 10 mm Umrechnungszahl 1000 1 km = 1000 m 16 cm = ? mm 29 cm = ? dm 16 cm = 160 mm 29 cm = 2,9 dm ×10 ÷10 1,2 km = ? m 1,2 km = 1200 m ×1000 Fläche: Umrechnungszahl 100 1 m2 = 10 0 dm2 1 dm2 = 10 0 cm2 1 cm2 = 100 mm2 1 km² = 10 0 ha 1 ha = 10 0 a 1 a = 100 m2 8 dm2 = ? cm2 320 mm2 = ? cm2 8 dm2 = 800 cm2 320 mm2 = 3,2 cm2 ×100 ÷100 3,2 ha = ? a 3,2 ha = 320 a ×100 Volumen: Umrechnungszahl 1000 1 m3 = 100 0 dm3 1 dm3 = 100 0 cm3 1 cm3 = 1000 mm3 5 dm3 = ? cm3 2 400 mm3 = ? cm3 5 dm3 = 5 000 cm3 2 400 mm3 = 2,4 cm3 ×1000 ÷1000 Masse (Gewicht): Umrechnungszahl 1000 1 t = 1000 kg 1 kg = 100 0 g 1 g = 1000 mg 5 kg = ? g 2 400 mm3 = ? cm3 5 kg = 5 000 g 2 400 mm3 = 2,4 cm3 ×1000 ÷1000 Hohlmaße: 1 l = 1 dm3 1 ml = 1 cm3 1 l = 1000 ml 5 400 ml = ? dm3 5 400 ml = 5,4 l = 5,4 dm3 Komma um 3 Stellen nach rechts ha: Hektar a: Ar
Nur zu Prüfzwecken – Eigentum der Westermann Gruppe 9 Grundlagen und Rechenregeln Zeit: verschiedene Umrechnungszahlen 1 Tag = 24 Stunden 1 Stunde = 60 Minuten (min) 1 Minute = 60 Sekunden (s) 1 Jahr = 12 Monate = 365 Tage (d) 2,5 h = ? min 2,5 h = 150 min ×60 1,4 Jahre = ? Tage 1,4 Jahre = 511 Tage ×365 (Schaltjahr: 366 Tage; Bankjahr: 360 Tage) Geschwindigkeit: v = s _ t s = v×t t = s _ v • geeignete Einheiten: km _ h oder m _ s Geg.: v = 340 m _ s ; t = 2 s. Ges.: s s = v×t = 340 m _ s ×2 s = 680 m Bezeichnungen bei technischen Anwendungen Bei technischen Anwendungen steht eine Zahl zwischen 1 und 10 als Faktor vor der Potenz. Bezeichnungen bei großen Zahlen Vorsilbe Potenz Deka (da) 101 Hekto (h) 102 Kilo (k) 103 Mega (M) 106 Giga (G) 109 Tera (T) 1012 Peta (P) 1015 Bezeichnungen bei kleinen Zahlen Vorsilbe Potenz Dezi (d) 10−1 Zenti (c) 10−2 Milli (m) 10−3 Mikro (µ) 10−6 Nano (n) 10−9 1 MW = ? W 1 MW = 1 000 000 W ×106 2 500 000 000 B = ? GB 2 500 000 000 B = 2,5 GB ×109 3,7 µm = ? m 3,7 µm = 0,0000037 m ×10–6
Nur zu Prüfzwecken – Eigentum der Westermann Gruppe 10 Grundlagen und Rechenregeln Rechenregeln Mit Brüchen rechnen • Bei Brüchen darf der Nenner nie Null sein. • Oft ist es erwünscht und sinnvoll, Brüche am Ende einer Rechnung so weit wie möglich zu kürzen. Brüche addieren und subtrahieren Man kann nur gleichnamige Brüche addieren oder subtrahieren. Bringe also vorher die Brüche auf den gleichen Nenner. a _ b + c _ b = a + c _ b a _ b − c _ b = a − c _ b 2 _ 5 + 1 _ 5 = 2 + 1 _ 5 = 3 _ 5 2 _ 3 + 5 _ 6 = 4 _ 6 + 5 _ 6 = 4 + 5 _ 6 = 9 _ 6 = 1 3 _ 6 = 1 1 _ 2 2 _ 5 − 1 _ 5 = 2 − 1 _ 5 = 1 _ 5 2 _ 3 − 1 _ 4 = 8 _ 12 − 3 _ 12 = 8 − 3 _ 12 = 5 _ 12 Brüche multiplizieren a _ b ×c = a×c _ b a _ b × c _ d = a×c _ b×d 2 _ 8 ×3 = 2×3 _ 8 = 6 _ 8 = 3 _ 4 2 _ 5 × 4 _ 7 = 2×4 _ 5×7 = 8 _ 35 7 _ 9 × 4 _ 7 = 7×4 _ 9×7 = 4 _ 9 Brüche dividieren a _ b ÷c = a _ b×c a _ b ÷ c _ d = a _ b × d _ c = a×d _ b×c 5 _ 7 ÷3 = 5 _ 7×3 = 5 _ 21 2 _ 5 ÷ 3 _ 4 = 2×4 _ 5×3 = 8 _ 15
Nur zu Prüfzwecken – Eigentum der Westermann Gruppe 11 Grundlagen und Rechenregeln Mit Dezimalzahlen rechnen Dezimalzahlen addieren >Schreibe Zehner unter Zehner, Einer unter Einer, Komma unter Komma, Zehntel unter Zehntel. >Lass für den Übertrag immer eine Zeile unter der letzten Zahl frei. 53,72 + 172,63 H Z E, z h 5 3, 7 2 + 3 7 2, 6 3 1 1 4 2 6, 3 5 Dezimalzahlen subtrahieren >Schreibe Komma unter Komma. >Lass für die Entbündelungsstriche immer eine Zeile unter der ersten Zahl frei. 164,3 − 18,91 H Z E, z h 1 6 4, 3 0 | | | − 1 8, 9 1 1 4 5, 3 9 Dezimalzahlen multiplizieren So setzt du das Komma im Ergebnis: >Zähle alle Stellen rechts vom Komma in der Aufgabe zusammen. >Zähle im Ergebnis so viele Stellen von rechts ab und setze das Komma. 85,6×1,7 8 5, 6 × 1, 7 8 5 6 5 9 9 2 1 1 1 4 5, 5 2 Dezimalzahlen dividieren >Vermeide Dezimalzahlen als Teiler: Verschiebe in beiden Zahlen das Komma gleich weit nach rechts, bis das Komma im Divisor entfällt. >Setze im Ergebnis das Komma, wenn das Komma in der Aufgabe überschritten ist. 8,136÷1,2 (Komma um 1 Stelle verschieben) 8 1, 3 6 ÷ 1 2 = 6, 7 8 − 7 2 9, 3 − 8 4 9 6 − 9 6 0 evtl. Nullen ergänzen 2 Nachkommastellen
Nur zu Prüfzwecken – Eigentum der Westermann Gruppe 12 Grundlagen und Rechenregeln Rechenregeln bei Termen Einfache Terme berechnen >Punkt vor Strich 10 + 5×3 = 10 + 15 = 25 10 − 6÷2 = 10 − 3 = 7 Terme mit Klammer und Potenzen berechnen >Klammer zuerst dann Potenzen, dann Punkt vor Strich 10 + (5 + 3) = 10 + 8 = 18 10 − (5 + 3) = 10 − 8 = 2 (10 + 5)×3 = 15×3 = 45 (10 + 5)÷3 = 15÷3 = 5 (2 + 5)×(8 − 3) = 7×5 = 35 (10 + 5 + 3)2 = 182 = 324 (2 + 3 − 8)2 = (−3)2 = 9 (23 − 5)×(8 − 3)2 = (8 − 5)×52 = 3×25 = 75 Vorzeichenregeln Auf ein Rechenzeichen kann auch ein Vorzeichen folgen, aber immer durch eine Klammer getrennt. Addition und Subtraktion Gleiche Vorzeichen werden zu Plus: + + → + − − → + Verschiedene Vorzeichen werden zu Minus. + − → − − + → − − 6,5 + (+ 2,5) = − 4 − 6,5 + 2,5 = − 4 − 4,5 + (− 3) = − 7,5 − 4,5 − 3 = − 7,5 − 8 − (− 5) = − 3 − 8 + 5 = − 3 + 7 − (+ 19) = − 12 + 7 − 19 = − 12 Multiplikation und Division Gleiche Vorzeichen werden zu Plus. + + → + − − → + Verschiedene Vorzeichen werden zu Minus. + − → − − + → − + 4×(+ 5) = + 20 − 1,5×(− 7) = + 10,5 + 8×(− 5) = − 40 − 2,1×(+ 9) = − 18,9 + 30÷(+ 6) = + 5 − 20÷(− 8) = + 2,5 + 50÷(− 2) = − 25 − 6,3÷(+ 3) = − 2,1
Nur zu Prüfzwecken – Eigentum der Westermann Gruppe 13 Grundlagen und Rechenregeln Rechengesetze Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) Bei der Addition darfst du beliebig die Summanden vertauschen und bei der Multiplikation die Faktoren. a + b = b + a a × b = b × a 8 + 4 = 4 + 8 = 12 8 × 4 = 4 × 8 = 32 Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz) Bei der Addition darfst du beliebig Teilsummen bilden, bei der Multiplikation Teilprodukte. a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c) a × b × c = (a × b) × c = a × (b × c) 4 + 8 + 2 = (4 + 8) + 2 = 12 + 2 = 14 = 4 + (8 + 2) = 4 + 10 = 14 7×5×2 = (7×5)×2 = 35×2 = 70 = 7×(5×2) = 7×10 = 70 Distributivgesetz (Verteilungsgesetz) der Multiplikation Ausmultiplizieren a × (b + c) = a × b + a × c a × (b − c) = a × b − a × c Ausklammern a × b + a × c = a × (b + c) a × b − a × c = a × (b − c) −3×(6x − 9) = −3×6x + 3×9 − + → − − − → + 8×6x + 8×4 = 8×(6x + 4) 12x2 − 8x = 4x×(3x − 2) Distributivgesetz (Verteilungsgesetz) der Division Klammer auflösen (a + b) ÷ c = a ÷ c + b ÷ c (a − b) ÷ c = a ÷ c − b ÷ c Ausklammern a ÷ b + c ÷ b = (a + c) ÷ b a ÷ b − c ÷ b = (a − c) ÷ b (6 + 9)÷3 = 6÷3 + 9÷3 (6x − 9)÷(−3) = 6x÷(−3) − 9÷(−3) 8÷6 + 4÷6 = (8 + 4)÷6 8x÷6 − 4÷6 = (8x − 4)÷6
Nur zu Prüfzwecken – Eigentum der Westermann Gruppe 14 Grundlagen und Rechenregeln Multiplikation von Summen und Differenzen Multipliziere jedes Glied der ersten Klammer mit jedem Glied der zweiten Klammer. Beachte die Vorzeichenregeln. (a + b)×(c + d) = a×c + a×d + b×c + b×d (a − b)×(c − d) = a×c − a×d − b×c + b×d (2 + x)×(5 + u) = 2×5 + 2×u + x×5 + x×u (2 − x)×(5 − u) = 2×5 − 2×u − x×5 + x×u Binomische Formeln 1. binomische Formel (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 2. binomische Formel (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 3. binomische Formel (a + b)×(a − b) = a2 − b2 (3x + 4y)2 = (3x)2 + 2×3x×4y + (4y)2 = 9x2 + 24xy + 16y2 (3x − 4y)2 = (3x)2 − 2×3x×4y + (4y)2 = 9x2 − 24xy + 16y2 (3x + 4y)×(3x − 4y) = (3x)2 − (4y)2 = 9x2 − 16y2
Nur zu Prüfzwecken – Eigentum der Westermann Gruppe 15 Prozent, Promille, Zins Prozent, Promille, Zins Prozent % Prozente sind Anteile oder Bruchteile von Hundert (lat. per centum = von Hundert oder ital. per cento = von Hundert). Prozentsätze beziehen sich also immer auf den Vergleichswert 100. Du unterscheidest das Ganze (den Grundwert), den Teil des Ganzen (den Prozentwert) und den Prozentsatz (als Bruchteil Prozentwert _ Grundwert ). Der Anteil kann auch in einem Streifendiagramm dargestellt werden. Anteil Ganzes 45 _ 100 = 45 % Das Ganze: 100 % 45 % Der Teil des Ganzen Sachaufgaben Untersuche die Situation: Grundwert, Prozentwert, Prozentsatz? Was ist gegeben? Was ist gesucht? „Von 250 g Erdbeerkonfitüre entsprechen 120 g Zucker einem Anteil von 48 Prozent.“ G = 250 g; P = 120 g; p = 48 % Brüche und Prozentsätze umwandeln Der Anteil vom Ganzen kann als Bruch, als Dezimalzahl oder als Prozentangabe geschrieben werden. 1 _ 4 = 25 _ 100 = 0,25 = 25 % 12 % = 12 _ 100 = 0,12 135 % = 135 _ 100 = 1,35 Promille ‰ Promillerechnung geht genau wie Prozentrechnung. Der Promillesatz gibt jedoch Anteile von Tausend an, also Tausendstel. 5 ‰ = 5 _ 1 000 = 0,005 0,025 = 25 _ 1 000 = 25 ‰ lies: Promille
Nur zu Prüfzwecken – Eigentum der Westermann Gruppe 16 Prozent, Promille, Zins Prozentrechnung mit dem Dreisatz Grundaufgaben Prozentwert berechnen Wie viel sind 15 Prozent von 80 kg? Geg.: G = 80 kg; p = 15 %; Ges.: P Prozent Gewicht 100 % 80 kg 1 % 0,8 kg 15 % 12 kg A: 15 % von 80 kg sind 12 kg. Prozentsatz berechnen Wie viel Prozent sind 3 Personen von 25 Personen? Geg.: G = 25; P = 3 Ges.: p Anzahl Prozent 25 100 % 1 4 % 3 12 % A: Drei Personen entsprechen 12 %. Grundwert berechnen Wie viel kostet das Haus, wenn 7 % davon 19 950 € sind? Geg.: p = 7 %; P = 19 550 € Ges.: G Prozent Preis 7 % 19 950 € 1 % 2 850 € 100 % 285 000 € A: Das Haus kostet 285 000 €. ÷100 ÷100 ×15 ×15 ÷25 ÷25 ×3 ×3 ÷7 ÷7 ×100 ×100
Nur zu Prüfzwecken – Eigentum der Westermann Gruppe 17 Prozent, Promille, Zins Preiserhöhung und Preisreduzierung • Der ursprüngliche Preis entspricht 100 %. • Der reduzierte Preis entspricht weniger als 100 %. • Der erhöhte Preis entspricht mehr als 100 %. Rabatt, Skonto: • Der ursprüngliche Preis wird gesenkt. Jans neue Sportschuhe sollen 93 € kosten. Er erhält jedoch 18 % Rabatt. Berechne den reduzierten Preis. ermäßigter Preis 100 % � 93 € 82% gesucht 18 % Rabatt Geg.: G = 93 € ; Rabatt 18 %. Ges.: Prozentsatz p, Prozentwert P Prozentsatz p = 100 % − 18 % = 82 % alter Preis: 100 % ≙ 93,00 € 1 % ≙ 0,93 € reduzierter Preis: 82 % ≙ 76,26 € A: Die Sportschuhe kosten jetzt 76,26 €. Mehrwertsteuer (MwSt.): • Der Nettopreis (100 %) wird um die Mehrwertsteuer erhöht. Der erhöhte Preis ist der Bruttopreis. Preiserhöhung • Der ursprüngliche Preis wird erhöht. Ein Drucker kostet mit Mehrwertsteuer 178,50 €. Wie hoch war der Nettopreis? Nettopreis Bruttopreis 119% � 178,50 € 100% gesucht 19 % MwSt. Geg.: P = 178,50 €, p = 119 % Ges.: Grundwert G Bruttopreis: 119 % ≙ 178,50 € 1 % ≙ 178,50 € _ 119 Nettopreis: 100 % ≙ 178,50 €×100 __ 119 = 150,00 € A: Der Drucker kostet netto 150 €.
Nur zu Prüfzwecken – Eigentum der Westermann Gruppe 18 Prozent, Promille, Zins Prozentrechnung mit Formeln Grundaufgaben Prozentwert P berechnen P = p×G _ 100 Wie viel sind 15 Prozent von 80 kg? Geg.: G = 80 kg; p = 15 % Ges.: P P = 15×80 kg _ 100 = 12 kg A: 15 % von 80 kg sind 12 kg. Prozentsatz p berechnen p = P×100 _ G 3 Personen von 25 sind krank. Wie viel Prozent sind das? Geg.: G = 25; P = 3 Ges.: p p = 3×100 _ 25 = 12 A: 12 % sind krank. Grundwert G berechnen G = P×100 _ p Wie viel kostet das Haus, wenn 7 % davon 19 950 € sind? Geg.: p = 7 %; P = 19 950 € Ges.: G G = 19 950 €×100 __ 7 = 285 000 € A: Das Haus kostet 285 000 €. Preiserhöhung und Preisreduzierung Mehrwertsteuer Manchmal geben Händler nur den Nettopreis an. Um den Verkaufspreis (den Bruttopreis) zu erhalten, wird noch die Mehrwertsteuer (MwSt.) addiert. Rabatt Hier ist der Grundwert immer der alte Preis. Ein Kühlschrank kostet 747,90 € netto. Berechne den Preis inkl. 19 % MwSt. Nettopreis Bruttopreis 119% gesucht 100 % � 747,90 € 19 % MwSt. Geg.: G = 747,90 €, p = 119 % Ges.: P P = 119×747,90 € __ 100 = 890 € A: Der Kühlschrank kostet 890 €.
Nur zu Prüfzwecken – Eigentum der Westermann Gruppe 19 Prozent, Promille, Zins Grundlagen der Zinsrechnung Die Zinsrechnung ist eine besondere Form der Prozentrechnung, in der es immer um Geld geht. Der Betrag auf einem Sparkonto (das Kapital) wird mit einem Zinssatz verzinst. Je länger du das Geld auf dem Konto lässt, desto mehr Zinsen bekommst du. Die Begriffe der Zinsrechnung entsprechen den Grundbegriffen der Prozentrechnung. Prozentrechnung – Zinsrechnung Grundwert (G) – Kapital (K) Prozentwert (P) – Zinsen (Z) Prozentsatz (p) – Zinssatz (p) Zeit (t) Banken haben für die Zinsrechnung ein besonderes Verfahren eingeführt. Im Gegensatz zu den unterschiedlich langen Kalendermonaten gibt es zwölf gleich lange „Bankmonate“. Bei Banken gilt immer: 1 Monat ≙ 30 Zinstage 1 Jahr ≙ 360 Zinstage Zinsrechnung mit Formeln „mit der 100“ Zinsen für ein Jahr berechnen Z = K×p _ 100 K = Z×100 _ p p = Z×100 _ K 5 000 € werden zu 2,5 % verzinst. Geg.: K = 5 000 €; p = 2,5 % Ges.: Z Z = 5 000 €×2,5 __ 100 = 125 € A: Man erhält 125 € Zinsen. Mit Monatszinsen rechnen (t ist die Anzahl der Monate) Z = K×p×t _ 100×12 K = Z×100×12 _ p×t p = Z×100×12 _ K×t t = Z×100×12 _ K×p Bei einem Zinssatz von 2,5 % werden nach 9 Monaten 93,75 € Zinsen ausgezahlt. Geg.: Z = 93,75 €; p = 2,5 %; t = 9 Ges.: K K = 93,75 €×100×12 __ 2,5×9 = 5 000 € A: Das Anfangskapital betrug 5 000 €.
Nur zu Prüfzwecken – Eigentum der Westermann Gruppe 20 Prozent, Promille, Zins Mit Tageszinsen rechnen (t ist die Anzahl der Tage) Z = K×p×t _ 100×360 K = Z×100×360 _ p×t p = Z×100×360 _ K×t t = Z×100×360 _ K×p Nach 47 Tagen werden 42,43 € Zinsen auf 5 000 € ausgezahlt. Geg.: Z = 42,43 €; K = 5 000 €; t = 47 Ges.: p p = 42,43 €×100×360 __ 5 000×47 ≈ 6,5 A: Der Zinssatz beträgt 6,5 %. Zinseszinsen Wenn du Kapital länger als ein Jahr anlegst, werden die Zinsen am Ende jedes Kalenderjahres gutgeschrieben und im Folgejahr mitverzinst. Daher spricht man von Zinseszins. Kapital zum Jahresbeginn + Zinsen = neues Kapital Jahr 1 2 000 € 40 € Jahr 2 2040 € 40,80 € Jahr 3 Jahr 4 Zinsen für mehrere Jahre berechnen • Du kannst für jedes Jahr die Jahreszinsen berechnen und dann zum Kapital K addieren oder gleich das neue Kapital K1 am Anfang des neuen Jahres direkt berechnen. • Du kannst mit dem Dreisatz, der Formel oder mit dem Wachstumsfaktor rechnen. Maxi bekommt 3 % Zinsen auf 1500 €. Welches Guthaben hat er nach drei Jahren? mit dem Dreisatz oder mit dem Wachstumsfaktor 100 % + 3 % = 103 % 100 % + 3 % = 103 % = 103 _ 100 = 1,03 Jahr 1 100 % ≙ 1500 € 1 % ≙ 15 € 103 % ≙ 1545 € K1 = 1500 €×1,03 = 1545 € Jahr 2 100 % ≙ 1545 € 1 % ≙ 15,45 € 103 % ≙ 1591,35 € K2 = 1545 €×1,03 = 1591,35 € Jahr 3 100 % ≙ 1591,35 € 1 % ≙ 15,9135 € 103 % ≙ 1639,09 € K3 = 1591,35 €×1,03 = 1639,09 € Antwort: Maxi hat nach drei Jahren ein Guthaben von 1639,09 €.
Nur zu Prüfzwecken – Eigentum der Westermann Gruppe 21 Prozent, Promille, Zins Prozentrechnung mit dem Faktor Formeln zur Prozentrechnung „ohne die 100“ Prozentsatz p berechnen p = P _ G 6 Personen von 25 Personen haben Grippe. Wie viel Prozent sind das? Geg.: G = 25; P = 6 Ges.: p p = 6 _ 25 = 0,24 = 24 % A: Sechs von 25 Personen sind 24 %. Prozentwert P berechnen P = p×G Wie viel sind 15 Prozent von 80 kg? Geg.: G = 80 kg; p = 15 % = 0,15 Ges.: P P = 15 %×80 kg = 0,15×80 kg = 12 kg A: 15 % von 80 kg sind 12 kg. Grundwert G berechnen G = P _ p Wie viel kostet das Haus, wenn 7 % davon 19 950 € sind? Geg.: p = 7 % = 0,07; P = 19 950 € Ges.: G G = 19 950 € _ 7 % = 19 950 € _ 0,07 = 285 000 € A: Das Haus kostet 285 000 €. Vermehrter und verminderter Grundwert (Rabatt und Skonto) Beim Kauf einer Tischtennisplatte erhältst du auf 280 € noch 25 % Rabatt. Geg.: G = 280 €; p = 25 % = 0,25 Rabatt: P = p×G = 0,25×280 € = 70 € Endpreis: p = 100 % − 25 % = 0,75 P = p×G = 0,75×280 € = 210 € Die Mitgliederzahl stieg um 12 % auf 504 Personen an. Geg.: P = 504 Personen; um 12 % p = 100 % + 12 % = 112 % = 1,12 G = P _ p = 504÷1,12 = 450 A: Vorher waren es 450 Personen. Faktor: 1 − p Faktor: 1 + p
Nur zu Prüfzwecken – Eigentum der Westermann Gruppe 22 Prozent, Promille, Zins Zinsrechnung mit dem Faktor Mit Jahreszinsen rechnen Z = K×p K = Z _ p p = Z _ K 5 000 € werden ein Jahr lang zu 2,5 % verzinst. Geg.: K = 5 000 €; p = 2,5 % = 0,025 Ges.: Z Z = 5 000 €×0,025 = 125 € A: Man erhält 125 € Zinsen. Mit Monatszinsen rechnen (t = Anzahl der Monate) Z = K×p×t _ 12 K = Z×12 _ p×t p = Z×12 _ K×t t = Z×12 _ K×p Nach 9 Monaten zu 2,5 % werden 93,75 € Zinsen ausgezahlt. Geg.: Z = 93,75 €; p = 2,5 % = 0,025; t = 9 Ges.: K K = 93,75 €×12 _ 0,025×9 = 5 000 € A: Das Anfangskapital betrug 5 000 €. Mit Tageszinsen rechnen (t = Anzahl der Tage) Z = K×p×t _ 360 K = Z×360 _ p×t p = Z×360 _ K×t t = Z×360 _ K×p Nach 47 Tagen werden 42,43 € Zinsen auf 5 000 € ausgezahlt. Geg.: Z = 42,43 €; K = 5 000 €; t = 47 Geg.: p p = 42,43 €×360 __ 5 000 €×47 ≈ 0,065 = 6,5 % A: Der Zinssatz beträgt ca. 6,5 %.
Nur zu Prüfzwecken – Eigentum der Westermann Gruppe 23 Prozent, Promille, Zins Zinseszinsen mit dem Faktor Wenn du Kapital länger als ein Jahr anlegst, werden die Zinsen am Ende jedes Kalenderjahres gutgeschrieben und im Folgejahr mitverzinst. Daher spricht man von Zinseszins. Anfangskapital K0 Kapital nach n Jahren Kn Anzahl der Jahre n Zinssatz p Zinsfaktor q Kapital zum Jahresbeginn + Zinsen = neues Kapital Jahr 1 2 000 € 40 € Jahr 2 2040 € 40,80 € Jahr 3 Jahr 4 Zinsfaktor bestimmen bei Gewinnen: Zinsfaktor: q = 1 + p bei Verlusten: Zinsfaktor: q = 1 − p Prozentsatz in Dezimalzahl umwandeln Kapital um 3 % erhöhen, also p = 0,03 → Zinsfaktor q = 1 + 0,03 = 1,03 Kapital um 5 % absenken, also p = 0,05 → Zinsfaktor q = 1 − 0,05 = 0,95. Kapital nach n Jahren berechnen Kn = K0×qn >Zinsfaktor bestimmen >Werte in die Formel einsetzen 5 000 € werden drei Jahre zu 2,5 % verzinst? Geg.: K0 = 5 000 €; p = 2,5 % = 0,025; n = 3 Ges.: Kn q = 1 + p = 1 + 0,025 = 1,025 Kn = 5 000 €×1,0253 ≈ 5 384,45 € A: Nach drei Jahren beträgt das Kapital 5 384,45 €. • Es kann vorkommen, dass ein Kapital mit einem bestimmten Zinssatz sinkt. >Zinsfaktor bestimmen >Werte in die Formel einsetzen Das Kapital von 4 200 € sinkt jährlich um 3 %. Wie viel ist es nach 4 Jahren wert? Geg.: K = 4 200 €; p = 3 % = 0,03; n = 4 Ges.: Kn q = 1 − p = 1 − 0,03 = 0,97 Kn = 4 200 €×0,974 ≈ 3 718,23 € A: Nach 4 Jahren sind es noch 3 718,23 €.
Nur zu Prüfzwecken – Eigentum der Westermann Gruppe 24 Potenzen, Wurzeln, Wachstum Potenzen, Wurzeln, Wachstum Potenzen Schreibweisen an Potenz mit der Basis a und dem Exponenten (der Hochzahl) n sprich: a hoch n • Der Exponent gibt an, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert wird. Exponent (Hochzahl) 25 sprich: 2 hoch 5 Basis 25 = 2×2×2×2×2 5 Faktoren Besondere Exponenten: a0 = 1 a1 = a 2,50 = 1 21 = 2 Negative Exponenten: 1 _ an = a−n; a ≠ 0 1 _ 23 = 2−3 Zehnerpotenzen 102 = 10×10 103 = 10×10×10 … 1,52×106 = 1520 000 Komma 6 Stellen nach rechts. Meist musst du Nullen ergänzen. 10−1 = 1 _ 101 = 1 _ 10 10−2 = 1 _ 102 = 1 _ 100 10−3 = 1 _ 103 = 1 _ 1000 1,52×10−6 = 0,00000152 Komma 6 Stellen nach links, also Ziffer der Einerstelle auf die 6. Stelle nach dem Komma. Potenzgesetze Potenzen multiplizieren und dividieren Gleiche Basis am×an = am + n am÷an = am − n 42×43 = 4×4×4×4×4 = 42 + 3 = 45 56÷52 = 5×5×5×5×5×5 __ 5×5 = 56 − 2 = 54 Gleicher Exponent an×bn = (a×b)n an÷bn = (a÷b)n 23×53 = (2×5)3 = 103 126÷36 = (12÷3)6 = 46 Potenzen potenzieren (am)n = am×n (42)5 = 42×5 = 410 (3×x4)2 = 32×x4×2 = 9x8
Nur zu Prüfzwecken – Eigentum der Westermann Gruppe 25 Potenzen, Wurzeln, Wachstum Wurzeln Radizieren – Wurzeln ziehen • Wurzelziehen ist die Umkehroperation zum Potenzieren: Wenn yn = x, dann ist y = n √ __ x lies: n-te Wurzel aus x 53 = 5×5×5 5 125 3 √ ______ 5×5×5 3 √ ____ 125 = 5, denn 53 = 125 lies: Die dritte Wurzel aus 125 ist 5. • Wurzelziehen und Potenzieren heben sich gegenseitig auf: n √ ___ an = a 3 √ __ 73 = 7 ( √ __ 5 )2 = 5 Wurzeln als Potenzen schreiben n √ __ x = x 1 _ n 4 √ ____ 625 = 62 5 1 _ 4 Terme mit Wurzeln multiplizieren und dividieren • Schreibe die Wurzeln als Potenzen und nutze die Potenzgesetze. √ __ x = x 1 _ 2 n √ __ x = x 1 _ n • Forme komplexe Terme so um, dass die Variablen nur im Zähler stehen. Multiplizieren √ __ 5 × √ ___ 20 = 5 1 _ 2 ×2 0 1 _ 2 = (5×20 ) 1 _ 2 = 10 0 1 _ 2 = 10 3 x 2 _ 3 × 3 √ ___ 8x = 3 x 2 _ 3 × 8 1 _ 3 × x 1 _ 3 = 3×2×x ( 2 _ 3 + 1 _ 3 ) = 6 x 3 _ 3 = 6x Dividieren √ ___ 20 ÷ √ __ 5 = 2 0 1 _ 2 ÷ 5 1 _ 2 = (20÷5 ) 1 _ 2 = 4 1 _ 2 = 2 y 5 _ 2 _ √ __ y y 5 _ 2 × y − 1 _ 2 y ( 5 _ 2 – 1 _ 2 ) = y 4 _ 2 y2 Wurzeln potenzieren und Wurzeln aus Potenzen ziehen 4 √ ___ 252 = (252 ) 1 _ 4 = 2 5 2 _ 4 = 2 5 1 _ 2 = √ ___ 25 = 5 ( 4 √ ___ 25 ) 2 = ( 2 5 1 _ 4 ) 2 = 2 5 2 _ 4 = 2 5 1 _ 2 = √ ___ 25 = 5 Manchmal musst du Klammern setzen.
Nur zu Prüfzwecken – Eigentum der Westermann Gruppe 26 Potenzen, Wurzeln, Wachstum Logarithmus Logarithmieren • Logarithmieren ist die Umkehroperation zum Potenzieren. • Wenn der Exponent gesucht ist, hilft der Logarithmus! Wenn an = b dann ist n = loga b lies: Logarithmus von b zur Basis a Mit welchem Exponenten muss ich 5 potenzieren, um 625 zu erhalten? 5x = 625 also: x = log5 625 = 4 Lies: Logarithmus von 625 zur Basis 5. Probe: 54 = 625 ✓ Berechnung mit dem Taschenrechner Taschenrechnereingabe: • Je nach Taschenrechner gibt es meist nur entweder die Taste log oder die Taste lg . • Prüfe bei deinem Taschenrechner, ob du erst die Zahl oder erst die Taste lg bzw. log eingeben musst. log oder lg ? 625 log oder log 625 ? Umrechnungsformel: loga b = log b÷log a log5 625 = log 625÷ log 5 = 4 oder log5 625 = lg 625÷ lg 5 = 4
Nur zu Prüfzwecken – Eigentum der Westermann Gruppe 27 Potenzen, Wurzeln, Wachstum Exponentielle Wachstums- und Abnahmeprozesse Bei exponentiellen Wachstumsprozessen nimmt in gleichen Zeiträumen ein Wert immer mit dem gleichen Faktor zu: Wachstumsfaktor. Beispiele dafür sind Zellteilung, Vermehrung von Bakterien, Bevölkerungswachstum, Kapitalwachstum. Bei Abnahmeprozessen nimmt der Wert immer mit dem gleichen Faktor ab, z. B. beim radioaktiven Zerfall. Anfangswert W0 Wert nach n Zyklen Wn Wachstumsrate p Wachstumsfaktor q Anzahl der Zyklen n Die Einwohnerzahl stieg in den letzten 10 Jahren von 208 323 jährlich um 2,2 % auf zuletzt 258 968. Wachstumsfaktor: q = 102,2 % = 1,022. Bei Wachstumsprozessen: q = 1 + p Bei Abnahmeprozessen: q = 1 − p bei Verdoppelungen: q = 2 bei Halbierungen: q = 0,5 Anzahl Zyklen bestimmen Oft musst du erst die Anzahl der Zyklen n bestimmen. Teile dazu die Gesamtdauer durch die Dauer eines einzelnen Zyklus´: n = tgesamt÷tZyklus Eine Zellart teilt sich alle 8 Stunden. Wie viele Zellen sind nach zwei Tagen aus 5 000 Zellen entstanden? 2 Tage = 48 h n = 48 h÷8 h = 6 A: Es sind 6 Zyklen. Endwert berechnen Wn = W0×qn >Wachstumsfaktor bestimmen >Anzahl Zyklen bestimmen >Werte in die Formel einsetzen Eine Zellart teilt sich alle 8 Stunden. Wie viele Zellen sind nach zwei Tagen aus 5 000 Zellen entstanden? Geg.: W0 = 5 000; tges = 48 h, tZyklus = 8 h Ges.: Wn q = 2 (Verdoppelungen) n = 48 h÷8 h = 6 Wn = 5 000×26 = 320 000 A: Nach zwei Tagen sind es etwa 320 000 Zellen.
Nur zu Prüfzwecken – Eigentum der Westermann Gruppe 28 Potenzen, Wurzeln, Wachstum Anfangskapital berechnen Wn = W0×qn |÷qn W0 = Wn _ qn >Wachstumsfaktor q bestimmen (Achte immer auf Vermehrung oder Verminderung) >Werte in die Formel einsetzen Wie viel Kapital muss ich anlegen, damit ich nach 12 Jahren bei 1,7 % Zinsen ein Kapital von 7 500 € habe? Geg.: W12 = 7 500 €; n = 12 p = 1,7 % = 0,017 → q = 1,017 Ges.: W0 Wn = W0×qn 7 500 = W0×1,01712 |÷1,01712 6 126,46 = W0 A: Das Ausgangskapital muss 6 126,46 € betragen. Wachstumsfaktor und Wachstumsrate berechnen Wn = W0×qn |÷W0 qn = Wn _ W0 | n √ __ q = n √ ____ Wn _ W0 Bei Wachstum: q = 1 + p → p = q − 1 Bei Abnahme: q = 1 − p → p = 1 − q Die Mitgliederzahl eines Vereins ist in den letzten drei Jahren jeweils um den gleichen Anteil von 54 500 auf 52 275 gesunken. Geg.: W0 = 54 500; W3 = 52 275; n = 3 Ges.: q und p Wn = W0×qn 52 275 = 54 500×q3 |÷54 500 0,95917 = q3 | 3 √ __ q = 0,9862 → Abnahme! p = 1 − 0,9862 = 0,0138 = 1,38 % A: Die Mitgliederzahl ist jährlich um 1,38 % gesunken. Dauer des Wachstums berechnen Wn = W0×qn |÷W0 qn = Wn _ W0 | log n = logq Wn _ W0 Ein Kapital von 3 000 € wird mit 4 % verzinst. Wann hat es sich verdoppelt? Geg.: W0 = 3 000 €; Wn = 6 000 €; p = 4 % → q = 1,04 Ges.: n n = log1,04 6 000 _ 3 000 = log1,04 2 = log 2÷log 1,04 n ≈ 17,7 A: Das Kapital verdoppelt sich nach ca. 17,7 Jahren.
Nur zu Prüfzwecken – Eigentum der Westermann Gruppe 29 Potenzen, Wurzeln, Wachstum Radioaktiver Zerfall und Halbwertszeit (HWZ) Beim radioaktiven Zerfall zerfällt radioaktives Material, z. B. Plutonium-241. Die Halbwertszeit (HWZ) gibt an, nach welcher Zeit nur noch die Hälfte des radioaktiven Ausgangsstoffes vorhanden ist. • Rechne beim radioaktiven Zerfall mit dem Wachstumsfaktor 0,5. Dann ist n die Anzahl der Halbwertszeiten. • Die Formel für den Zerfall: Wn = W0×0,5n Endwert Wn berechnen: >Berechne die Anzahl n der Zyklen. n = t _ HWZ >Setze die Werte in die Formel ein. Wn = W0×0,5n >Berechne den Endwert. Plutonium-241 hat die Halbwertzeit 14,35 Jahre. Wie viel ist von ursprünglich 1200 g nach 57,4 Jahren noch übrig? Geg: W0 = 1200 g t = 57,4 Jahre; HWZ = 14,35 Jahre Ges.: Wn n = t÷HWZ = 57,4÷14,35 = 4 Wn = W0×0,5n Wn = 1200 g×0,54 = 75 g A: Es sind noch 75 g Plutonium übrig. Anfangswert W0 berechnen: >Berechne die Anzahl der Zyklen: n = t÷HWZ >Setze in die Formel ein: Wn = W0×0,5n >Berechne den Anfangswert. W0 = Wn _ 0,5n Nach 57,4 Jahren sind noch 75 g Plutonium übrig (Halbwertszeit 14,35 Jahre). Wie viel waren es ursprünglich? Geg: Wn = 75 g, t = 57,4 J., HWZ = 14,35 J. Ges.: W0 n = t÷HWZ = 57,4÷14,35 = 4 Wn = W0×0,5n 75 g = W0×0,54 W0 = 75 g÷0,54 = 1200 g A: Ursprünglich waren es 1200 g Plutonium.
Nur zu Prüfzwecken – Eigentum der Westermann Gruppe 30 Potenzen, Wurzeln, Wachstum Halbwertszeit HWZ berechnen >Setze in die Formel ein: Wn = W0×0,5n >Bilde den Logarithmus, um n zu berechnen n = log0,5 Wn _ W0 >Berechne die Halbwertszeit HWZ. HWZ = t÷n 1200 g Plutonium-241 zerfallen in 57,4 Jahren zu 75 g. Berechne die Halbwertszeit. Geg: W0 = 1200 g; Wn = 75 g, t = 57,4 Jahre Ges.: HWZ Wn = W0×0,5n 75 = 1200×0,5n 75 _ 1200 = 0,5n n = log0,5 75 _ 1200 = log 75 _ 1200 ÷log 0,5 = 4 HWZ = 57,4 Jahre÷4 = 14,35 Jahre A: Die Halbwertszeit beträgt 14,35 Jahre. Zeit t berechnen >Setze in die Formel ein: Wn = W0×0,5n >Berechne die Anzahl n der Zyklen. n = log0,5 Wn _ W0 >Berechne die Zeit t. t = HWZ×n In wie viel Jahren zerfallen 1200 g Plutonium-241 zu 75 g? Die Halbwertszeit beträgt 14,35 Jahre. Geg: W0 = 1200 g; Wn = 75 g, HWZ = 14,35 Jahre Ges.: t 75 = 1200× 0,5n 0,5n = 75 _ 1200 n = log0,5 75 _ 1200 = 4 t = HWZ×4 = 14,35 Jahre×4 = 57,4 Jahre A: Die Zeit beträgt 57,4 Jahre. Jährliche Abnahme p berechnen >Dafür brauchst du nur die Halbwertszeit! >Berechne q: q = HWZ √ ___ 0,5 >Berechne p: p = 1 − q 1200 g Plutonium-241 (HWZ = 14,35 Jahre) zerfallen in 57,4 Jahren zu 75 g. Berechne die jährliche Abnahmerate. Geg: HWZ = 14,35 Jahre Ges.: p q = 14,35 √ ___ 0,5 = 0,9528… ≈ 0,953 p = 1 − q = 1 − 0,953 = 0,047 = 4,7 % A: Die jährliche Abnahme beträgt 4,7 %.
Nur zu Prüfzwecken – Eigentum der Westermann Gruppe 31 Terme, Gleichungen, Funktionen Terme, Gleichungen, Funktionen Terme vereinfachen • Du kannst Terme nur zusammenfassen, wenn sie dieselben Variablen haben. 3x + 5x + 4 = 8x + 4 Hier kannst du nicht zusammenfassen: 4x + 7y = 8 • Du darfst bei + und × beliebig vertauschen. 2a + 4 + 3b − a + 5b + 7 = a + 8b + 11 x×4y×7 = 4×7×x×y = 28xy • Ohne Multiplikationspunkt steht die Variable hinten: x×3 = 3×x = 3x 3×x + 6×x = (3 + 6)×x = 9x 3×x + 6×x + 7 = (3 + 6)×x + 7 = 9x + 7 3×x + 6×x + 2y = (3 + 6)×x + 2y = 9x + 2y Terme mit Klammer • Plus vor Klammer: Lass die Klammer weg. … + (4 − x) = … + 4 − x aber: … + (4 − x)×3 = … + 4×3 − x×3 • Minus vor Klammer: Ändere alle Zeichen. … − (4 − x) = … − 4 + x • Klammer ausmultiplizieren: positiver Faktor vor oder hinter Klammer: Vorzeichen beachten 3×(2,5 − x) = 7,5 − 3x (−4 + x)×5 = −20 + 5x negativer Faktor vor oder hinter Klammer: Vorzeichen beachten −5×(3,5 − x) = −17,5 + 5x (−2,5 + 3x)×(−5) = 12,5 − 15x Äquivalenzumformungen bei Gleichungen • Ziel ist es, die Variable (z. B. x oder y) zu isolieren. Dazu brauchst du Gegenoperationen: • Beim Umformen von Gleichungen darfst du die Terme vereinfachen oder immer auf beiden Seiten dasselbe tun, z. B. auf beiden Seiten 5 addieren (schreibe | + 5). Beispiele für Gegenoperationen + → − − → + × → ÷ ÷ → × 2 → √ ___
Nur zu Prüfzwecken – Eigentum der Westermann Gruppe 32 Terme, Gleichungen, Funktionen Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme Einfache Gleichungen lösen: • Auf beiden Seiten dasselbe addieren x − 5 = 9 | + 5 x − 5 + 5 = 9 + 5 Probe: x = 14 14 − 5 = 9 • Auf beiden Seiten dasselbe subtrahieren x + 5 = 9 | − 5 x + 5 − 5 = 9 − 5 x = 4 4 + 5 = 9 • Auf beiden Seiten multiplizieren x÷3 = 4 |×3 x÷3×3 = 4×3 x = 12 12÷3 = 4 • Auf beiden Seiten dividieren 3×x = 12 |÷3 3÷3×x = 12÷3 x = 4 3×4 = 12 Komplexe Gleichungen lösen >Suche die Rechnung, die beim Berechnen von Termen zuletzt durchgeführt werden muss, und hebe sie mit dem Gegenoperator auf. Hier also in dieser Reihenfolge: erst Strichrechnungen, dann Punktrechnungen, dann Klammern, dann Potenzen (3 − 2x)×5 + 12 = 52 | − 12 (3 − 2x)×5 = 40 |÷5 3 − 2x = 8 | − 3 −2x = 5 |÷(−2) x = −2,5 Gleichungen mit x auf beiden Seiten >Bringe alle Ausdrücke mit x auf eine Seite. 3x + 16 = 8 − 5x | + 5x 8x + 16 = 8 | − 16 8x = −8 |÷8 x = −1 Gleichungen mit Klammern • Klammern auflösen >Multipliziere die Klammer aus. >Löse Klammern mit Minuszeichen auf. >Fasse zusammen. >Berechne x. 7×(x + 3) + 9 = 3x − (−2x − 40) 7x + 21 + 9 = 3x + 2x + 40 7x + 30 = 5x + 40 | −5x − 30 2×x = 10 | ÷2 x = 5
Nur zu Prüfzwecken – Eigentum der Westermann Gruppe 33 Terme, Gleichungen, Funktionen Gleichungen mit Brüchen lösen: Hier gibt es mehrere Möglichkeiten: • Mit dem Hauptnenner multiplizierenMultipliziere den ganzen Zähler mit dem Hauptnenner. Nutze Klammern. Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner. Du findest ihn mit Vielfachenreihen. 5(x + 2,4) _ 6 − 5 = 2x − 1 _ 8 |×24 5(x + 2,4)×24 __ 6 − 5×24 = (2x − 1)×24 _ 8 4×5×(x + 2,4) − 120 = 3×(2x − 1) 20(x + 2,4) − 120 = 6x − 3 … Vielfachenreihen: 6: 6 12 18 24 30 … 8: 8 16 24 32 40 … • Brüche in Dezimalzahlen umwandeln Dies geht aber nur, wenn es ohne Runden möglich ist (z. B. bei Nennern 2, 4, 5, 8, …) − 3 _ 5 (4x − 1) = 5(− 4 _ 25 − 0,88x) − 0,6(4x − 1) = 5(− 0,16 − 0,88x) − 2,4x + 0,6 = − 0,8 − 4,4x | + 4,4x … • Brüche wegkürzen 28×(−1,5x − 3,2) __ 7 + 8x _ 2 = 3,2 + 6,5x 4×(−1,5x − 3,2) + 4x = 3,2 + 6,5x − 6x − 12,8 + 4x = 3,2 + 6,5x … • Klammern ausmultiplizieren 2 _ 9 ×(18x − 54) = 1 _ 7 ×(−14 + 56x) 2×18x _ 9 − 2×54 _ 9 = − 1×14 _ 7 + 1×56x _ 7 4x − 12 = −2 + 8x … 4 1 1 3 Hauptnenner 24 2 6 2 8 1 1 1 1
Nur zu Prüfzwecken – Eigentum der Westermann Gruppe 34 Terme, Gleichungen, Funktionen Gleichungssysteme mit zwei Variablen lösen Bei einem Gleichungssystem mit zwei unbekannten Variablen sind immer (mindestens) zwei Gleichungen gegeben. Es gibt verschiedene Lösungsverfahren. Manchmal führt eines der Lösungsverfahren besonders schnell zum Ziel. Gleichsetzungsverfahren • Steht eine Variable bei beiden Gleichungen allein, ist das Gleichsetzungsverfahren günstig. >nach einer der Variablen auflösen, hier y >gleichsetzen und die verbleibende Variable berechnen, hier x >y berechnen >Lösung angeben >Probe mit beiden Ausgangsgleichungen machen Löse das Gleichungssystem. ① 3x + 3y = 15 | – 3x ② – 3x + 6y = – 6 | + 3x 3y = – 3x + 15 | ÷3 6y = 3x – 6 | ÷6 y = – x + 5 y = 1 _ 2 x – 1 − x + 5 = 1 _ 2 x − 1 | + x 5 = 1,5x – 1 | + 1 6 = 1,5x | ÷1,5 4 = x ① 3×4 + 3y = 15 | − 12 3y = 3 | ÷3 y = 1 Lösung: x = 4; y = 1 ① 3×4 + 3×1 = 15 ② − 3×4 + 6×1 = − 6 12 + 3 = 15 ✓ − 12 + 6 = − 6 ✓ Additionsverfahren • Dies Verfahren ist günstig, wenn eine Variable wegfällt, wenn man die Gleichungen addiert ① + ② oder subtrahiert ① − ②. >beide Gleichungen addieren oder subtrahieren, sodass eine Variable wegfällt, hier y >die andere Variable berechnen, hier y >Lösung angeben >Probe machen Löse das Gleichungssystem. ① 2x − 3y = 4 ② 4x + 3y = 26 ① + ② 6x = 30 | ÷6 x = 5 ② 4×5 + 3y = 26 | − 20 3y = 6 | ÷3 y = 2 Lösung: x = 5; y = 2 Probe: ① 2×5 − 3×2 = 4 ② 4×5 + 3×2 = 26 10 − 6 = 4 ✓ 20 + 6 = 26 ✓
Nur zu Prüfzwecken – Eigentum der Westermann Gruppe 35 Terme, Gleichungen, Funktionen Gleichungssysteme mit zwei Variablen lösen Einsetzungsverfahren • Ist eine der beiden Gleichungen bereits nach einer Variablen aufgelöst, kann das Einsetzungsverfahren sinnvoll sein. >Löse eine Gleichung nach x oder nach y auf. >Setze den Term für x oder y in die andere Gleichung ein. Setze dabei eine Klammer. Löse die entstandene Gleichung. >Berechne den Wert für die andere Variable. >Gib die Lösung an. >Mach die Einsetzprobe. Löse das Gleichungssystem. ① x = 4y + 3 ② 2x + 3y = 39 2×(4y + 3) + 3y = 39 | Klammer auflösen 8y + 6 + 3y = 39 | zusammenfassen 6 + 11y = 39 | − 6 11y = 33 |÷11 y = 3 ① x = 4×3 + 3 x = 15 Lösung: x = 15; y = 3 ① 15 = 4×3 + 3 ✓ ② 2×15 + 3×3 = 39 30 + 9 = 39 ✓ Zeichnerisches Lösungsverfahren • Dies Verfahren funktioniert nur, wenn die Geraden sich in einem Schnittpunkt schneiden, der gut ablesbare Koordinaten hat. • Sind die Geraden parallel, gibt es keine Lösung, sind die Geraden identisch, gibt es unendlich viele Lösungen. >beide Gleichungen in die Normalform y = m×x + t bringen >beide Graphen in ein gemeinsames Koordinatensystem zeichnen >den Koordinaten des Schnittpunktes die Lösung entnehmen Löse das Gleichungssystem. ① y = 0,25x ① y = 0,25x ② x = − y + 5 ② y = − x + 5 4 5 3 2 1 y 1 2 3 4 5 0 x S (4|1) ① ② Lösung: x = 4; y = 1
Nur zu Prüfzwecken – Eigentum der Westermann Gruppe 36 Terme, Gleichungen, Funktionen Bruchgleichungen • Bei Bruchgleichungen steht zusätzlich die Variable im Nenner. Weil kein Nenner null werden darf, musst du die Definitionsmenge D bestimmen. Löse die Gleichung. Prüfe, ob die gefundene Lösungszahl in der Definitionsmenge enthalten ist, bevor du die Lösungsmenge L angibst. Vielfache von x im Nenner >Definitionsmenge angeben >Hauptnenner bestimmen >mit dem Hauptnenner multiplizieren und kürzen >zusammenfassen >Variable schrittweise isolieren >mit der Definitionsmenge abgleichen >Lösungsmenge angeben Löse die Gleichung 120 _ 2x = 144 _ 3x + 2. D = ℚ∖{0} 120 _ 2x = 144 _ 3x + 2 | ×2×x×3 120×2×x×3 _ 2x = 144×2×x×3 _ 3x + 2×2×x×3 120×3 = 144×2 + 12x 360 = 288 + 12x | − 288 72 = 12x | ÷12 6 = x „6 ist in D“ L = {6} Nenner mit Summen oder Differenzen >Definitionsmenge (Keiner der Nenner darf null werden) >mit dem Hauptnenner multiplizieren >kürzen >Term vereinfachen >Äquivalenzumformungen >mit der Definitionsmenge abgleichen >Lösungsmenge angeben 3x −_ 15 x − 7 = 3 − _10 x + 1 D = ℚ∖{−1;7} Wird 0 für x = 7 Wird 0 für x = −1 3x −_ 15 x − 7 = 3 − _10 x + 1 | ×(x − 7)×(x + 1) (3x − 15)×(x − 7)×(x + 1) __ x − 7 = 3×(x − 7)×(x + 1) − 10×(x − 7)×(x + 1) __ x + 1 (3x − 15)(x + 1) = 3(x + 7)(x + 1) − 10(x − 7) … −12x − 15 = − 28x + 49 | + 28x 16x − 15 = 49 | + 15 16x = 64 | ÷16 x = 4 4 ist in D L = {4}
Nur zu Prüfzwecken – Eigentum der Westermann Gruppe 37 Terme, Gleichungen, Funktionen Quadratische Gleichungen Reinquadratische Gleichung • Diese Gleichungen lassen sich in die Form x2 = a bringen. x2 = a a ≥ 0 x2 = a | √ __ x1 = + √ __ a x2 = − √ __ a a > 0: Es gibt zwei Lösungen. a = 0: Es gibt eine Lösung: L = {0} a < 0: Es gibt keine Lösung. L = { } Löse die Gleichung. 2x2 = 32 | ÷2 x2 = 16 | √ __ x1 = + 4 x2 = − 4 L = {− 4; 4} zwei Lösungen: x2 = 16 → L = {− 4; 4} eine Lösung: x2 = 0 → L = {0} keine Lösung: x2 = − 2 → L = { } Lösen durch Faktorisieren • Gleichungen der Form ax2 + bx = 0 kann man faktorisieren, indem man x ausklammert. • Ist einer der Faktoren null, wird auch das Produkt null. • Also ist eine Lösung 0, für die andere Lösung muss die Klammer null sein. Löse die Gleichung 3x2 − 12x = 0 | x ausklammern. x×(3x − 12) = 0 x1 = 0 3x2 − 12 = 0 | ÷3 x2 − 4 = 0 | + 4 x2 = 4 → L = {0; 4} Gemischt-quadratische Gleichungen – „pq-Formel“ • Diese Gleichungen lassen sich in die Form x2 + px + q = 0 bringen. Lösung mit der Lösungsformel x1/2 = − p _ 2 ± √ _______ ( p _ 2 ) 2 − q >p und q bestimmen und einsetzen >x1 und x2 berechnen >Lösungsmenge aufschreiben Löse die Gleichung mit der pq-Formel. x2 − 14x + 45 = 0 → p = −14; q = 45 x1/2 = − (−14) _ 2 ± √ __________ ( −14 _ 2 ) 2 − 45 x1/2 = 7 ± √ _________ (−7)2 − 45 x1/2 = 7 ± √ __ 4 x1 = 7 + 2 = 9 x2 = 7 − 2 = 5 L = {9; 5} • Auch gemischt-quadratische Gleichungen können zwei Lösungen, nur eine Lösung oder keine Lösung haben. Wert unter der Wurzel > 0: zwei Lösungen Wert unter der Wurzel = 0: eine Lösung Wert unter der Wurzel < 0: keine Lösung Achte auf die Vorzeichen von p und q.
Nur zu Prüfzwecken – Eigentum der Westermann Gruppe 38 Terme, Gleichungen, Funktionen Zuordnungen Proportionale Zuordnungen >Prüfe! Trifft es zu? Dann ist es eine proportionale Zuordnung. • Je mehr, desto mehr Je weniger, desto weniger • Zum Doppelten der ersten Größe gehört das Doppelte der zweiten Größe; zum Dreifachen gehört das Dreifache; zur Hälfte gehört die Hälfte; … Dreisatz • Bei proportionalen Zuordnungen kannst du den Dreisatz anwenden. Wertetabelle Graph • Zum Zeichnen des Graphen genügen zwei Punkte: der Ursprung (0 | 0) und ein Zahlenpaar (x | y), hier (2 | 4). • Am Graphen kannst du weitere Zahlenpaare ablesen. Quotientengleichheit • Die Größenpaare sind quotientengleich: y _ x = k • k ist der Proportionalitätsfaktor. Funktionsgleichung y = k×x 5 kg Möhren kosten 10 €. Für ihr Pferd kauft Marie 3 kg Möhren. Wie viel kostet dies? 5 kg Möhren ≙ 10 € ÷5 ÷5 1 kg Möhren ≙ 2 € ×3 ×3 3 kg Möhren ≙ 6 € A: 3 kg Möhren kosten 6 €. Gewicht (kg) 1 2 3 4 5 6 Preis (€) 2 4 6 8 10 12 8 9 10 6 4 2 7 5 3 1 € Preis 1 2 3 4 5 6 7 0 Gewicht kg Proportionalitätsfaktor: k = 4 _ 2 = 6 _ 3 = … = 2 y = 2×x Lies aus dem Graphen weitere Wertepaare ab, z. B. (3,5 | 7). Der Proportionalitätsfaktor ist die Steigung des Graphen.
Nur zu Prüfzwecken – Eigentum der Westermann Gruppe 39 Terme, Gleichungen, Funktionen Umgekehrt proportionale Zuordnungen >Prüfe! Trifft es zu? Dann ist es eine umgekehrt proportionale Zuordnung. • Je mehr, desto weniger Je weniger, desto mehr • Zum Doppelten der ersten Größe gehört die Hälfte der zweiten Größe; zum Dreifachen gehört ein Drittel; zur Hälfte gehört das Doppelte; … Dreisatz • Bei umgekehrt proportionalen Zuordnungen kannst du den Dreisatz anwenden. • Du musst rechts mit der Gegenoperation arbeiten! Wertetabelle Graph >Überlege, welchen Bereich du zeichnen willst, und lege die Koordinatenachsen fest. >Zeichne die Wertepaare ein. >Die Punkte liegen auf einer gebogenen Linie (Hyperbel). Produktgleichheit • Die Größenpaare sind produktgleich: y×x = k Funktionsgleichung y = k÷x (k ≠ 0; x ≠ 0) 6 Pumpen brauchen 10 h, um ein Becken zu leeren. Wie lange brauchen 4 Pumpen? Anzahl Zeit Pumpen in h 6 10 ÷6 ×6 1 60 ×4 ÷4 4 15 A: 4 Pumpen brauchen 15 h. x 1 2 3 … 12 y 60 30 20 … 5 Anzahl Pumpen h Zeit 2 4 6 8 10 10 0 20 30 40 50 60 k = 6×10 = 3×20 = 60×1 = 60 y = 60÷x
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