Nur zu Prüfzwecken – Eigentum der Westermann Gruppe 69 Geometrie Regelmäßige Vielecke (n-Ecke) • Im n-Eck gibt n die Anzahl der Ecken und auch die Anzahl der Seiten an. • Alle Seiten sind gleich lang und alle Innenwinkel gleich groß. • Alle Eckpunkte liegen auf einem Kreis. • Regelmäßige Vielecke lassen sich in n deckungsgleiche Dreiecke zerlegen Diese Dreiecke sind gleichschenklig. Ihre Basiswinkel sind gleich groß. • Für Berechnungen nimmt man eines der Dreiecke heraus: das Bestimmungsdreieck. Vieleck: n: Anzahl der Ecken r: Radius Bestimmungsdreieck: s: Seitenlänge β: Basiswinkel α: Mittelpunktswinkel h: Höhe Berechnungen im Bestimmungsdreieck Mittelpunktswinkel: α = 360° : n Basiswinkel: β = (180° − α)÷2 Höhe des Dreiecks: h2 = r2 − ( s _ 2 ) 2 Flächeninhalt Bestimmungsdreieck: A∆ = s×h _ 2 Berechne die Winkel im Bestimmungsdreieck des regelmäßigen Fünfecks. Mittelpunktswinkel: Basiswinkel: α = 360°÷5 2×β + α = 180° α = 72° 2×β + 72° = 180° | − 72° 2×β = 108° | ÷2 β = 54° Berechnungen im regelmäßigen Vieleck Flächeninhalt: A = n×A∆ A = n× s×h _ 2 oder: A = 1 _ 2 ×n×r2×sin α Umfang: u = n×s Berechne den Flächeninhalt des regelmäßigen Achtecks. Geg.: n = 8; r = 2,9 m, s = 2,4 m → s _ 2 = 1,2 m 2,9 m s r 2,4 m h 1. Höhe berechnen (Pythagoras): h2 + 1,22 = 2,92 | − 1,22 h2 = 2,92 − 1,22 h = √ _________ 2,92 − 1,22 h = 2,64 [m] 2. Flächeninhalt berechnen: A = 8× g×h _ 2 A = 8× 2,4×2,64 _ 2 A ≈ 25,3 [m2] α r r s s s s β β s 2 s 2 h
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