82 POLYTECHNISCHE SCHULE | BERUFLICHE BILDUNG | ALLGEMEINBILDUNG Mathematik pur Diese neue Reihe vermittelt in drei Bänden ein kompaktes Training aller für die Ausbildung an der Fachschule erforderlichen mathematischen Basiskompetenzen. Die Unterrichtserfahrung zeigt, dass Fachschüler*innen vor allem viele Übungsaufgaben benötigen, damit sie später Aufgaben in der beruflichen Praxis erfolgreich bewältigen können. Um dieses Ziel zu erreichen, konzentriert sich die vorliegende Reihe auf die wesentlichen Inhalte und ist → einfach und klar aufgebaut sowie → praxiserprobt Mathematik Basistraining für die Fachschule Limbeck Schultyp: 3100 Kapitel 4: Dreieck Mathematik für technisch-gewerbliche Fachschulen 1 57 4 .3.4 Nutze die Angaben, um alle anderen gesuchten Größen zu berechnen. (Der rechte Winkel befindet sich stets im Punkt C.) a b c p q h u A a) 3 4 b) 10 30 c) 12 24 d) 100 60 e) 12 13 Rechtwinkliges Dreieck: Trigonometrie Da uacsh r, e scehhtrw ei fnf ki zl ii eg ne tD mr ei ti eWc ki n ekreml nö gz lui c h t rEesc ghenlteenn. folgende Zusammenhänge: sin(φ)=ୋୣୌ୷ୣ୮୬୭୩୲ୣ ୟ୬୲୦ୣ୳ୱୣ୲ୣ cos(φ)=ୌ୷୬୮୩୭ୟ୲ୣ ୲ ୦ୣ୬ ୳୲ୣ ୱୣ tan(φ)=ୋୣ ୣ୬ ୩୬ୟ୩୲ୟ୦ୣ୲ ୦ୣ୲ୣ ୲ୣ M1 Wit dinekne ol b+i g1e Sne Fitoer mgeeglenb eernw eitert sich unser Repertoire folgendermaßen: Seite berechnen Aufgaben 4 .3.5 Berechne den Winkel. a) sin(α) = 0,81 b) sin(β) = 0,34 c) cos(γ) = 0,2 d) tan(α) = 0,45 4.3.6 Von einem rechtwinkligen Dreieck (mit = 90°) kennt man die Seitenlänge a = 4 m und den Winkel = 30°. Berechne a) b) die Seitenlänge b. c) die Seitenlänge c. den Flächeninhalt. 4.3.7 Nutze die Angaben, um alle anderen gesuchten Größen zu berechnen. (Es gilt stets: = 90°) a b c h u A a) 4 30° b) 30 40 c) 2 6 d) 16 50° e) 285 323 56 Mathematik für technisch-gewerbliche Fachschulen 1 4.3 Rechtwinkliges Dreieck Rechtwinkliges Dreieck: Geometrie Dspaesz rieelclhet Dwrienikelcikge. Dreieck ist das wichtigste KE iugrezn gs ec shaagf tt e vne ar fl üs gdta es s a ül lbg ee rm we iensee nDtrl ieci he cmk ,e wh ra s d a s Aanrbgeeniteehnm m mit arcehcht.t winkligen Dreiecken besonders BG re öi mß e rneac nh gt wa bi ne nk l, iug me n a Dl lree ai encdke rr ee inc hGernö ßmeeni sbte zrwe cehi n e n zBue skcöhnrni fet unn. g : ca:, bH:y Kpaottheentuesne (gegenüber dem rechten Winkel) p, q: Hypotenusenabschnitte Formeln, die im rechtwinkligen Dreieck gelten (Geometrie): Flächeninhalt: A =ୟ � ∙ ୠ =ୡ � ∙ ୦ Satz des Pythagoras: a2 + b2 = c2 Höhensatz: h2 = p ∙ q Kathetensatz: a2 = c ∙ p, b2 = c ∙ q Winkelsumme: α + β = 90° Aufgaben 4.3.1 Beschrifte das gegebene rechtwinklige Dreieck vollständig. 4.3.2 Betrachte das folgende rechtwinklige Dreieck: b a ) c) ) B WB e e e r r l e e c c c h h h e n n S e e e d d it e i e e n i f s F e t l h ä d l c e i h e n e H d n e y i n p S h o e a i t t e l e t n . n ul äs en?g e . 4.3.3 Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt 42 000 mm2. Berechne die fehlenden Seitenlängen. Kapitel 2: Vektoren Mathematik für technisch-gewerbliche Fachschulen 3 47 Vektorstaffellauf Wer ist schneller? Schritt 1 Die Schülerinnen und Schüler bilden kleine Gruppen von 3–4 Spielern und bestimmen innerhalb der Gruppe eine Spieler-Reihenfolge (Spieler 1, Spieler 2, usw.) Außerdem wählt jede Gruppe einen Gegenstand als Gruppensymbol aus! Schritt 2 Alle Gruppen stellen sich an einem Ende des Klassenzimmers an die Wand. Der erste Spieler jeder Gruppe tritt hervor und hält das Gruppensymbol hoch. Schritt 3 Die Lehrperson stellt eine beliebige Aufgabe zur Vektorrechnung. Die ersten Spieler jeder Gruppe versuchen nun, die Aufgabe so schnell wie möglich zu lösen. Wer glaubt, sie richtig beantworten zu können, ruft „Stopp!“ und darf die Lösung nennen. Wenn die Lösung richtig ist, darf der Spieler mit seiner Gruppe einen Meter vorwärts gehen. Ist die Antwort falsch, muss die gesamte Gruppe einen Meter zurück! Schritt 4 In der zweiten Runde wird das Gruppensymbol an die zweiten Spieler weitergegeben. Sie sind jetzt an der Reihe, um die nächste Aufgabe zu lösen. Nach ihnen sind die dritten Spieler an der Reihe usw. Nach dem letzten Spieler setzt wieder der erste Spieler fort. Schritt 5 Die Lehrperson stellt so viele Aufgaben, bis eine Gruppe das andere Ende des Klassenzimmers erreicht und diesen spannenden Staffelsprint für sich entschieden hat! 46 Mathematik für technisch-gewerbliche Fachschulen 3 ℝ3: Geraden Geraden werden im Raum immer über die Parameterform dargestellt. Diese erfolgt so wie in ℝଶ. In ℝ gibt es eine vierte mögliche Lagebeziehung für W zw w e in e d d i e G s r c e s h r c i a h e d n fe e e n i G d : e e w r n a i , n d n d e o s n c c h l h i e i p e g a f e . r n a lsloe l i omd eRra uidmen, dt assi ns d s.i e s ic h Zmuarn L ea igne Gb el esitci hmumn gu snsgy zs twe emi e mr Gi t e dr raedi e Gnl ei mi c h Ruanugme n e. r h ä l t Ergibt sich eine Lösung, so wird diese in beide andere GE rl egiecbhnuins gs ee nn feüi nr gdei es e ztwz te. iBt ee iL uöns tuenrgs chhei ießdtl idc ahse:n D i e beiden Geraden sind windschief. Beispiel: g�:X=൭ −− 0 2 2 ൱+t� ∙ ൭ 2 2 4 ൱, gଶ:X=൭− 22 3൱+tଶ ∙ ൭− 01 2൱ Durch Gleichsetzen ergibt sich: I: –2 + 2t1 = 2 II: 2t1 = –3 – 2t2 III: –2 + 4t1 = 2 + t2 Die Gleichung I kann direkt gelöst werden: t1 = 2. Die Lösung t1 = 2 wird nun in die anderen beiden Gleichungen eingesetzt: II: 2 ∙ 2 = –3 – 2t 2 → t2 = –3,5 III: –2 + 4 ∙ 2 = 2 + t2 → t2 = 4 Da die Werte für t2 nicht übereinstimmen, sind die Geraden windschief. Aufgaben 2.5.13 Stelle die Gerade auf, die durch die beiden Punkte verläuft. a) A൭321൱, B൭−32 2൱ b) A൭725൱, B൭−13 0 8൱ c) A൭810൱, B൭−4 2 3൱ 2.5.14 Ermittle die Lagebeziehung der beiden Geraden zueinander. Gib ggf. den Schnittpunkt an. a) g�:X=൭141൱+t� ∙ ൭ 1 1 5 ൱, gଶ:X=൭ 13 6 1 ൱+tଶ ∙ ൭ − 8 6 2 ൱ b) g�:X=൭101൱+t� ∙ ൭ 2 2 1 ൱, gଶ:X=൭862൱+tଶ ∙ ൭ −1 1 1 ൱ c) g�:X=൭ −2 0 4 ൱+t� ∙ ൭ − 0 1 1 ൱, gଶ:X=൭100൱+tଶ ∙ ൭ − − 0 2 1 0 0 ൱ d) g�:X=൭− 42 2൱+t� ∙ ൭− 35 1൱, gଶ:X=൭ −− 10 2 3൱+tଶ ∙ ൭ −3 7 2 ൱ e) g�:X=൭ 7 4 40 0൱+t� ∙ ൭ 1 1 00 0൱, gଶ:X=൭− 4 2 1൱+tଶ ∙ ൭ 1 2 1 ൱ Blick ins Buch Titel SBNR ISBN Preis Mathematik Basistraining für die Fachschule 1 220677 978-3-7068-7518-9 € 15,00 Mathematik Basistraining für die Fachschule 2 220678 978-3-7068-7520-2 € 15,00 Mathematik Basistraining für die Fachschule 3 220679 978-3-7068-7522-6 € 15,00 MATHEMATIK > Angewandte Mathematik
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