76 POLYTECHNISCHE SCHULE | BERUFLICHE BILDUNG | ALLGEMEINBILDUNG → Logisch strukturierter und systematischer Aufbau → Vollständig schrittweise gelöste Beispiele → Zum selbstständigen Arbeiten → Abschließende Prüfungen → Anwendungsorientierte Aufgaben → Mindmaps am Kapitelende mit Zusammenhängen → Technologieeinsatz (GeoGebra, Excel) → Kurzgefasste Lösungen im Anhang, Lösungsheft mit ausführlichen Lösungen separat erhältlich → Das E-BOOK+ ergänzt das Schulbuch mit einer Vielzahl an Videos und interaktiven Übungen für eine digitale Gestaltung des Unterrichts. Titel E-Book E-Book Solo E-BOOK+ E-BOOK+ Solo Mathematik und Wirtschaft 1 HAK, kompetenzorientiert 175354€ 20,65 207656€ 15,41 205174€ 28,77 207740€ 22,07 Mathematik und Wirtschaft 2 HAK, kompetenzorientiert 180333€ 20,67 207669€ 15,42 210375€ 27,37 211493€ 21,13 Mathematik und Wirtschaft 3 HAK, kompetenzorientiert 185262€ 20,46 207688€ 15,27 210376€ 27,16 211494€ 20,97 Mathematik und Wirtschaft 4 HAK, kompetenzorientiert 190377€ 21,38 207701€ 15,95 210377€ 28,08 211495€ 21,66 Mathematik und Wirtschaft 5 HAK, kompetenzorientiert 195378€ 19,68 207725€ 14,89 210378€ 26,38 211496€ 20,38 E E+ Mathematik & Wirtschaft HAK kompetenzorientiert Timischl, Schwaiger, Teschl, Prugger, Hebenstreit Schultyp: 4600 E E-Book E+ E-BOOK+ BiBox – Lösungen O OMNIA E-BOOK+ | Inhalte 17–36 Lernvideos 4–25 Technologievideos 9–15 Mathe-Trainer-Aufgaben mit Unteraufgaben 8–17 Grafische Übungen 9 Arbeitsblätter 72 Definitionen 17–34 interaktive Übungen mit 1–5 Unterübungen GRATIS: Ausführliche Lösungen für Lehrpersonen nach Authentifizierung in digi4school Voll-Version Demo-Version 67 2 Rechnen mit Termen Seite 2.1 Variablen und Terme 68 Was ist ein Term? – Aufstellen und Interpretieren von Termen 2.2 Addition und Subtraktion von Termen 73 Addieren und Subtrahieren von Monomen – Addieren und Subtrahieren von Polynomen – Klammerterme 2.3 Multiplikation von Termen 76 Multiplizieren und Dividieren von Monomen – Multiplizieren von Binomen und Polynomen 2.4 Rechnen mit Potenzen 81 Potenzschreibweise – Addieren und Subtrahieren von Potenzen – 5 Rechengesetze fü r Potenzen – Potenzen mit negativen Exponenten 2.5 Die binomischen Formeln 90 (a + b)² , (a – b)² , (a + b) (a – b) 2.6 Faktorisieren 94 Faktorisieren durch Herausheben – Faktorisieren mit den binomischen Formeln 2.7 Rechnen mit Bruchtermen 97 Grundlegendes ü ber Bruchterme – Erweitern und Kü rzen von Bruchtermen – Grundrechnungsarten mit Bruchtermen 2.8 Eine kurze Bemerkung ü ber die Division von Polynomen 107 Polynomdivision mit Technologieeinsatz Die Universalität der Termsprache: Die Abbildung zeigt eine Seite aus einem in chinesischer Sprache verfassten Mathematiklehrbuch. 2 ` die Bezeichnungen, den Aufbau und die Eigenschaften der Zahlenmengen ℕ, ℤ, ℚ, ℝ nennen und Zahlen diesen Mengen zuordnen ` Zahlen von Festkommadarstellung in Gleitkommadarstellung umwandeln und umgekehrt ` mit Zahlen in Gleitkommadarstellung mit und ohne Technologieeinsatz operieren ` Angaben in Prozent verstehen und als Zahlen angeben ` Anwendungsaufgaben mit Prozentzahlen lösen ` die Kenntnisse ü ber Fest- und Gleitkommadarstellung von großen und kleinen Zahlen auf den Bereich Maße und Maßeinheiten anwenden ` die Maßeinheiten fü r Längen-, Flächen-, Volums-, Masse- und Zeiteinheiten nennen ` die Vorsilben Kilo, Mega, Giga, Tera, Dezi, Zenti, Milli, Mikro, Nano sinnvoll bei Anwendungsaufgaben interpretieren ` Maßeinheiten mit Hilfe der Potenzschreibweise darstellen und damit Rechenoperationen durchfü hren ` Zahlen runden und die dabei nötige Genauigkeit im Zusammenhang mit Anwendungen abschätzen Wenn du das Kapitel 1 „Zahlen und Maße“ durchgearbeitet hast, dann kannst du … Zusammenfassung Kapitel 1: Zahlen und Maße nano mikro milli … kilo Mega Giga Tera Längenmaße, Flächenmaße, Raummaße Multiplizieren und Dividieren Potenzieren und Wurzelziehen Vorrangregeln Rechenoperationen Rundungsregel Rundungsintervall signifikante Stellen Rechengesetze Rechnen mit Zahlen Verhältnisse Maßstab Prozent, Promille, ppm A = p ___ 100 ‧ G Rechnen mit Änderungsfaktoren Gleitkommadarstellung Gleitkomma- und Festkommazahl Zehnerpotenzen Zahlenmengen natürliche Zahlen ganze Zahlen reelle Zahlen Zahlen und Maße Kapitel 1 Runden Prozentrechnung Massenmaße Zeitmaße, Geschwindigkeitsmaße Umwandlung von Einheiten Vorsilben im internationalen Einheitensystem Größen und Einheiten Primfaktorenzerlegung kgV ggT Primzahlen Intervalle Wurzeln rationale Zahlen Brüche Dezimalzahlen (endlich oder periodisch) Überschlagsrechnung Addieren und Subtrahieren Potenzschreibweise Wurzel Exponent Basis Wurzelexponent Radikand Kommutativgesetz Assoziativgesetz Distributivgesetz 66 Zahlen und Maße 1 91 2 Die binomischen Formeln Beispiel 2.116: Anwenden der binomischen Formeln Berechne: a) (3x + 2y)2 b) (r − 5s)2 c) (r – 5s)(r + 5s) d) (2x__ 5 − y__ 3) 2 ; Zahlenprobe: x = 5, y = 3 e) (3a – 5b)3 Lösung a) (3x + 2y)2 = (3x)2 + 2 ‧ 3x ‧ 2y + (2y)2 = 9x2 + 12xy + 4y2 ⏟⏟ ⏟ ⏟⏟ ⏟ a b a2 2 a b b2 b) (r − 5s)2 = r2 − 2 ‧ r ‧ 5s + (5s)2 = r2 − 10rs + 25s2 ⏟ ⏟ ⏟ ⏟⏟ ⏟ a b a2 2 a b b2 c) (r − 5s) (r + 5s ) = r2 − (5s)2 = r2 − 25s2 ⏟ ⏟⏟ ⏟ ⏟ ⏟ a b a b a² b² d) (2x__ 5 − y__ 3) 2 = (2x__ 5 ) 2 − 2 ‧ 2x__ 5 ‧ y__ 3 + ( y__ 3) 2 = 4x 2 ___ 25 − 4xy ___ 15 + y2__ 9 Zahlenprobe: Anfangsterm: (2 ‧ 5 ___ 5 − 3__ 3) 2 = (2 − 1)2 = 12 = 1; Ergebnisterm: 4 ‧ 5 2 ____ 25 – 4 ‧ 5 ‧ 3 _____ 15 + 32__ 9 = 4 – 4 + 1 = 1; = 4 – 4 + 1 = 1; stimmt. e) (3a – 5b)3 = (3a)3 − 3‧ (3a)2‧ 5b + 3‧ 3a‧ (5b)2 – (5b)3 = 27a3 – 135a2b + 225ab2 – 125b3 A B C D Beispiel 2.117: Termberechnung mithilfe der binomischen Formeln Berechne: a) (2u + 5v)(5v − 2u) b) (2 + a)2 − (2 − a)2 − (2 + a)(2 − a); Zahlenprobe: a = 1 Lösung a) (2u + 5v)(5v − 2u) = (2u + 5v) ‧ (−1)(2u − 5v) = (−1)(4u2 − 25v2) = 25v2 − 4u2. Oder man rechnet: (2u + 5v)(5v − 2u) = (5v + 2u)(5v − 2u) = 25v2 − 4u2 b) (2 + a)2 − (2 − a)2 − (2 + a)(2 − a) = 4 + 4a + a2 − (4 − 4a + a2) − (4 − a2) = = 4 + 4a + a2 − 4 + 4a − a2 − 4 + a2 = a2 + 8a − 4. Zahlenprobe: Anfangsterm: (2 + 1)2 − (2 − 1)2 − (2 + 1)(2 − 1) = 9 − 1 − 3 = 5; Ergebnisterm: 12 + 8 ‧ 1 − 4 = 5; stimmt. A B C D Aufgaben 2.118 Berechne unter Anwendung der binomischen Formeln: a) (a + 3)2 b) (3u − v)2 c) (2x − 1)2 d) (3x − 4y)2 e) (3x + 4y)(3x − 4y) f) (r + 2s)(r − 2s) g) ( x__ 2 − 1 ) 2 h) (1__ 3 − t ) 2 i) (a__ 3 + b__ 2) 2 j) (1__ 2 − x ) ( 1__ 2 + x ) k) (2s__ 3 + t__ 5) 2 l) (3u___ 4 − w__ 2) 2 m) ( 1___ 10 + 5x ) 2 n) (3m___ 5 − 2k__ 3 ) 2 o) ( 3xy ___ 2 − z__ 3) 2 2.119 Ebenso: a) (m + n)2 − (m − n)2 b) (a + 2)2 − (a + 1)2 c) (2x − 1)2 − (1 − 2x)2 d) ( x__ 2 + 1 ) 2 − ( x__ 2 − 1 ) 2 e) (u + 2v)2 − (2u + v)2 f) (5a − b)2 − (5a − b)(5a + b) g) (1 − y)(1 + y) − (y + 1)(y − 1) h) (3x − 2y)2 + (2x + 3y)2 i) 1__ 2 ‧ [x 2 + y2 – (x – y)2] A B C D A B C D Die erste binomische Formel besagt, dass etwa (3 + 4)² = = 3² + 2 · 3 · 4 + 4² ist und nicht gleich 3² + 4². 90 Rechnen mit Termen 2 2.5 Die binomischen Formeln Unter einem Binom versteht man, wie schon auf Seite 68 erwähnt, Terme der Art a + b, a − b, 2x + 5y, 3u − 7v, also eine zweigliedrige Summe oder Differenz. Häufig tritt die Aufgabe auf, das Quadrat eines Binoms oder ein Produkt der Art (a + b)(a − b) zu berechnen. Durch Ausmultiplizieren erhält man leicht die drei binomischen Formeln: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Erste binomische Formel (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 Zweite binomische Formel (a + b) ‧ (a − b) = a2 – b2 Dritte binomische Formel ` Die erste binomische Formel ist in Abb. 2.15 geometrisch veranschaulicht. ` Die binomischen Formeln lassen sich leicht durch Potenzieren bzw. Ausmultiplizieren nachweisen : (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 (a − b)2 = (a − b)(a − b) = a2 − ab − ab + b2 = a2 − 2ab + b2 (a + b)(a − b) = a2 + ab − ab − b2 = a2 − b2 ` Wegen –a + b = (−1) ‧ (a – b) und − a – b = (−1) ‧ (a + b) folgt auch: (−a + b)2 = (−1)2 ‧ (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 (−a – b)2 = (−1)2 ‧ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ` Statt Buchstaben kann man auch andere Zeichen fü r die Variablen verwenden: (□ + O)2 = □2 + 2 ‧ □‧ O + O2 Bei dieser Schreibweise kann man sich leichter vorstellen, dass die Variablen □ und O fü r beliebige, auch längere Terme stehen können. Entsprechend können auch die beiden anderen binomischen Formeln formuliert werden. Durch Ausmultiplizieren erhält man auch die Formeln fü r höhere Potenzen eines Binoms, beispielsweise jene fü r die dritte Potenz eines Binoms: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 Abb. 2.16 zeigt eine geometrische Veranschaulichung von (a + b)3: Abb. 2.15 a a2 b = + + + a·b a + b b2 a·b a b a2 a·b b2 a·b Abb. 2.16 a b a b → + + + a b a3 a2b a2b a2b ab2 ab2 ab2 b3 Berechnung von (a − b)3: (a − b)3 = = (a − b)(a − b)(a − b) = = (a2 − 2ab + b2)(a − b) = = a3 − 2a2b + ab2 − a2b + 2ab2 − b3 = = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 MATHEMATIK > Mathematik und Angewandte Mathematik
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