74 POLYTECHNISCHE SCHULE | BERUFLICHE BILDUNG | ALLGEMEINBILDUNG MATHEMATIK > Mathematik und Angewandte Mathematik „Neue Wege“ unterstützt Lernende und Lehrende durch einen didaktisch erprobten Aufbau in schülergerechter Sprache. → Was Sie erwartet - gibt einen kurzen Überblick der Themen → Motivationsaufgaben - regen zur intuitiven Auseinandersetzung an → Basiswissen - bietet grundlegendes Wissen, Formeln und Definitionen → Beispielaufgaben - helfen beim eigenständigen Lösen der Übungsaufgaben → Übungsaufgaben - vertiefen das Verständnis, bereiten auf die sRDP vor → Zusammenfassung - zeigt das Wichtigste im Überblick → Check Up - ermöglicht eine Selbstkontrolle → PDF der Lösungen gratis auf der Website verfügbar → Das E-BOOK+ ergänzt das Schulbuch für eine digitale Gestaltung des Unterrichts mit einer Vielzahl an Videos und interaktiven Übungen. Titel E-Book E-Book Solo E-BOOK+ E-BOOK+ Solo Neue Wege I Mathematik für HAK 170781€ 20,85 206361€ 16,46 210361€ 27,55 211425€ 21,26 Neue Wege II Mathematik für HAK 175365€ 20,76 206365€ 15,49 210362€ 27,46 211426€ 21,19 Neue Wege III Mathematik für HAK 180324€ 20,55 206377€ 15,34 210363€ 27,25 211427€ 21,05 Neue Wege IV Mathematik für HAK 185326€ 20,34 206403€ 16,06 210364€ 27,04 211428€ 20,88 Neue Wege V Mathematik für HAK 190363€ 20,13 206408€ 15,89 210365€ 26,83 211429€ 20,73 E E+ Neue Wege Mathematik für Handelsakademien Bittner, Jaschka, Rott, Schwaha-Schmid Schultyp: 4600 E E-Book E+ E-BOOK+ O OMNIA E-BOOK+ | Inhalte 15–37 Lernvideos 4–14 Technologievideos (GeoGebra, Excel) 9–15 Mathe-Trainer-Aufgaben mit Unteraufgaben 8–15 grafische Übungen 19–36 interaktive Übungen mit Unterübungen GRATIS: Lösungen für Lehrpersonen nach Authentifizierung in digi4school Voll-Version Demo-Version 43 2.5 Die reellen Zahlen Die Zahl √ __ 2 ist Vertreter einer neuen „Sorte“ von Zahlen mit bemerkenswerten Eigenschaften. Eigenschaften von√ __ 2 √ _ 2 ist eine nicht abbrechende, nicht periodische Dezimalzahl: √ _ 2 ≈ 1,414213 ... √ __ 2 lässt sich durch eine Intervallschachtelung darstellen. 1 < √ ___ 2< 2 1,4 < √ ___ 2< 1,5 1,41 < √ ___ 2< 1,42 1,414 < √ ___ 2 < 1,415 ... ... ... ... √ __ 2 lässt sich nicht als Bruch p_ q darstellen. √ __ 2 entspricht einer Zahl auf der Zahlengeraden. Es gibt viele weitere Zahlen mit denselben Eigenschaften wie √ __ 2: √ __ 3; √ ___ 4,1 ; π; 0,101001000100001 ... Alle Zahlen mit diesen Eigenschaften heißen irrationale Zahlen. Die Menge aller rationalen und irrationalen Zahlen ist die Menge der reellen Zahlen. Irrationale und reelle Zahlen Irrationale Zahlen sind Zahlen, die sich nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen lassen. Sie haben die Eigenschaft, dass ihre Dezimalentwicklung nicht abbricht und nicht periodisch ist. z.B. −√ __ 2, −√ __ 3, √ __ 2, √ __ 3, π, ... Die Menge der rationalen Zahlen ℚ vereinigt mit der Menge der irrationalen Zahlen ist die Menge der reellen Zahlen ℝ. ℝ+ ... Menge der positiven reellen Zahlen ℝ− ... Menge der negativen reellen Zahlen ℝ+ 0, ℝ− 0 ... Mengen der positiven bzw. negativen reellen Zahlen inklusive Null Auf der Zahlengeraden kann man zwischen zwei rationalen Zahlen stets eine weitere rationale Zahl finden. Man sagt: Die rationalen Zahlen liegen auf der Zahlengeraden dicht. Trotzdem ist noch Platz für die reellen Zahlen. Die Menge der reellen Zahlen entspricht der Menge aller Punkte der Zahlengeraden. Intervalle sind Teilmengen der reellen Zahlen. Beschränkte (endliche) Intervalle: Das offene Intervall enthält alle reellen Zahlen zwischen a und b: ]a; b[ = {x ∈ ℝ | a < x < b} Das halboffene Intervall ]a; b] enthält alle reellen Zahlen, die größer als a und kleiner gleich b sind: ]a; b] = {x ∈ ℝ | a < x ≤ b} Basiswissen Reelle Zahlen: Menge der rationalen und irrationalen Zahlen siehe Kapitel 2.4 Man schreibt statt der eckigen Klammern für offene und halboffene Intervalle auch runde Klammern. ]a; b[ ... (a; b) 42 2 Zahlenmengen Basiswissen Was Sie erwartet Motivationsaufgaben 2.5 Die reellen Zahlen Sie erfahren, warum die Quadratwurzel aus 2 keine rationale Zahl ist. Sie lernen die Mengen der irrationalen und reellen Zahlen kennen. Sie lernen, Intervalle als Teilmengen der reellen Zahlen auf der Zahlengeraden darzustellen und anzuschreiben. Sie erfahren Interessantes über den „goldenen Schnitt“. M 2.6 Wir suchen die Kantenlänge a eines Quadrats mit dem Flächeninhalt A = 16 cm². Die Lösung ist a = 4 cm, weil 4 × 4 = 16. Bei einem Quadrat mit dem Flächeninhalt 17 cm² kann man die Kantenlänge nur näherungsweise, z.B. durch systematisches Ausprobieren bestimmen: 4 < a < 5, denn 4 × 4 = 16 und 5 × 5 = 25 4,1 < a < 4,2, denn 4,1 × 4,1 = 16,81 und 4,2 × 4,2 = 17,64 a) Setzen Sie die näherungsweise Berechnung von a für die nächsten beiden Nachkommastellen fort. Wie viele Stellen hat das Ergebnis? b) Ermitteln Sie mit demselben Verfahren die Kantenlänge eines Quadrats mit dem Flächeninhalt 90 cm². Geben Sie drei Stellen nach dem Komma an. M 2.7 Wo liegt √ __ 2 auf der Zahlengeraden? a) Beschreiben Sie die nebenstehende Konstruktion ausgehend von der Zahlengeraden. b) Begründen Sie, warum die Diagonale in einem Quadrat mit der Kantenlänge 1 cm die Länge √ __ 2 cm hat. c) Finden Sie mit der gleichen Konstruktion die Lage von √ __ 8 (√ ___ 18) auf der Zahlengeraden. M 2.8 Lässt sich√ __ 2 als Bruch schreiben? Man kann √ __ 2 zwar konstruieren und so die Lage auf der Zahlengeraden finden. Aber bereits im 5. Jahrhundert vor Christus drängte sich den Griechen der Verdacht auf, dass es keinen Bruch gibt, der den Wert √ __ 2 hat. a) Zwischen welchen natürlichen Zahlen liegt √ __ 2? b) Hat √ __ 2 denselben Wert wie _3 2? Sie können dies durch Rechnen oder durch Überlegen überprüfen. c) Wählen Sie vier gekürzte Brüche zwischen 1 und 2, die als „Kandidaten“ für √ __ 2 infrage kommen. Was stellen Sie fest? Lässt sich √ __ 2 als Bruch schreiben? Begründen Sie Ihre Entscheidung. Die Zahl a, die quadriert eine vorgegebene Zahl a² ergibt, nennt man die Quadratwurzel (kurz: Wurzel) dieser gegebenen Zahl. Die Quadratwurzel (Wurzel) aus a² ergibt a. √ __ a2 = 2√ __ a2 = a, a ≥ 0 √ __ x √ _ ... Wurzelzeichen x ... Radikand 91 Prüfungsvorbereitung 3 Die Sprache der Algebra – Variable und Terme | Erinnern, Können, Anwenden A 3.1 B D Das Paket wird mit Klebeband gesichert. Wählen Sie die Terme aus, die die Länge des benötigten Klebebandes beschreiben. Zeigen Sie, dass diese Terme gleichwertig sind. a) 2x + 2y + 4×12 b) 2×(x + y) + 48 c) x + y + 12 d) 2×(x + 12) + y e) x + y + 12 + 12 + 12 + 12 + y + x A 3.2 A B D Übersetzen Sie den nebenstehenden Zahlentrick in einen Term. Zeigen Sie mithilfe einer Termumformung, dass man für jede gedachte Zahl das Fünffache dieser Zahl als Ergebnis erhält. A 3.4 A Geben Sie für jede Fläche einen Term für den Flächeninhalt und den Umfang an. a) b) c) A 3.5 A D Stimmt das? Begründen Sie Ihre Antwort mit einem passenden Term. a) „Das Volumen eines Quaders vervierfacht sich, wenn jede Seite verdoppelt wird.“ b) „Der Umfang eines Rechtecks wird 2 cm größer, wenn ich jede Seite um 0,5 cm verlängere.“ c) „Die Oberfläche eines Würfels verdoppelt sich, wenn jede Seitenlänge verdoppelt wird.“ d) „Die Fläche eines Rechtecks verdoppelt sich, wenn ich eine Seitenlänge verdopple.“ A 3.6 C Geben Sie jeweils an, welche Rechengesetze bei der Termumformung angewendet wurden. a) 3×(3×x) = 9x b) 5 + 2x = 2x + 5 c) 4 + (x + 2) = 6 + x d) 2×(x + 3) = 2x + 6 e) 5×(2x + 1) = 10x + 5 f) 4x + (2x − 3) = 6x − 3 A 3.7 B x x×(x − 3) 8x − (2 − 2x) 0,5×(−2x) + 2x x2 − x 5 10 −3 0,1 0 _3 4 A 3.8 B Vereinfachen Sie die folgenden Terme. a) 4,8x + 2 − 2,4x + 0,4 b) 3a + 2b − a − b + 2a c) 5×(x − 3) + 4×(1,5 − x) d) (10x − 8y) : 2 + (6x − 5y) A 3.3 A B Die Summen in den Diagonalen sind gleich den Summen in den Zeilen und Spalten. Ermitteln Sie den Wert von x. 4 x − 2 11 2 x 5 3 x + 1 9 12 − x x + 1 8 Übertagen Sie die Tabelle in Ihr Heft. Ermitteln Sie die fehlenden Werte. Benutzen Sie, falls möglich, vereinfachte Terme, um zum Ergebnis zu kommen. Denke dir eine Zahl Subtrahiere 12 Multipliziere mit 4 Addiere die gedachte Zahl Addiere 48 90 3 Die Sprache der Algebra − Variable und Terme Potenzen Ist a eine reelle Zahl und n eine natürliche Zahl, dann nennt man an die n-te Potenz von a. Ein Produkt gleicher Faktoren wird als Potenz bezeichnet an Hochzahl (Exponent) Basis Rechenregeln für Potenzen Für a, b ∈ ℝ \ {0} und n, m ∈ ℕ gilt: (a×b)n = an×bn (a b) n = a n bn an×am = an + m Potenzen gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert. an am = an − m Potenzen gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert. (an)m = an×m Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten multipliziert. Potenzen mit negativen Hochzahlen Ist a ∈ ℝ \ {0} und n ∈ ℝ \ {0} dann gilt: a−n = 1 an . Es gilt umgekehrt auch: 1 a−n = an. Potenzen mit der Hochzahl 0 Ist a ∈ ℝ \ {0} dann gilt: a0 = 1, d.h. jede Zahl (ausgenommen Null) hoch Null ist eins. Gleitkommadarstellung ( = Zehnerpotenzdarstellung) In der Wissenschaft arbeitet man oft mit sehr großen oder sehr kleinen Zahlen. Um diese übersichtlich darzustellen, schreibt man sie mithilfe von Zehnerpotenzen. Die Darstellung einer Zahl in der Form a×10z mit a ∈ ℝ und z ∈ ℤ heißt Gleitkommadarstellung oder Zehnerpotenzdarstellung. z.B.: 9×106 = 9 000 000 2,3×10−8 = 0,000 000 023 Wenn für die Mantissea gilt: 1 ≤ a < 10 spricht man von der normierten Gleitkommadarstellung. Die Darstellung einer Zahl ohne Zehnerpotenz nennt man Festkommadarstellung oder Fixkommadarstellung. an =a×a×a×...×a n Faktoren a × 102 Zehnerpotenz Mantisse
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