72 POLYTECHNISCHE SCHULE | BERUFLICHE BILDUNG | ALLGEMEINBILDUNG „Neue Wege“ unterstützt Lernende und Lehrende durch einen didaktisch erprobten Aufbau in schülergerechter Sprache. → Was Sie erwartet - gibt einen kurzen Überblick der Themen → Motivationsaufgaben - regen zur intuitiven Auseinandersetzung an → Basiswissen - bietet grundlegendes Wissen, Formeln und Definitionen → Beispielaufgaben - helfen beim eigenständigen Lösen der Übungsaufgaben → Übungsaufgaben - vertiefen das Verständnis, bereiten auf die sRDP vor → Zusammenfassung - zeigt das Wichtigste im Überblick → Check Up - ermöglicht eine Selbstkontrolle → PDF der Lösungen gratis auf der Website verfügbar → Das E-BOOK+ ergänzt das Schulbuch für eine digitale Gestaltung des Unterrichts mit einer Vielzahl an Videos und interaktiven Übungen. Titel E-Book E-Book Solo E-BOOK+ E-BOOK+ Solo Neue Wege I Mathematik für HUM 175875€ 20,76 206371€ 15,49 210366€ 27,46 211430€ 21,19 Neue Wege II Mathematik für HUM 180862€ 19,06 206393€ 14,21 210367€ 25,76 211431€ 19,90 Neue Wege III Mathematik für HUM 185761€ 18,87 206407€ 14,89 210368€ 25,57 211432€ 19,76 Neue Wege IV Mathematik für HUM 195280€ 18,14 206419€ 13,73 210369€ 24,84 211433€ 19,21 Neue Wege V Mathematik für HUM 200654€ 18,14 206450€ 13,73 210370€ 24,84 211434€ 19,21 E E+ Neue Wege Mathematik für humanberufliche höhere Schulen Bittner, Jaschka, Rott, Schwaha-Schmid Schultyp: 4710; 4720 E E-Book E+ E-BOOK+ O OMNIA E-BOOK+ | Inhalte 14–35 Lernvideos 3–14 Technologievideos (GeoGebra, Excel) 8–15 Mathe-Trainer-Aufgaben mit Unteraufgaben 10–16 grafische Übungen 17–36 interaktive Übungen mit Unterübungen GRATIS: Lösungen für Lehrpersonen nach Authentifizierung in digi4school Info zum Buch Demo-Version 183 5.4 Die Lagebeziehung zweier Geraden Lagebeziehung zweier Geraden Die Graphen zweier linearer Funktionen können parallel, identisch oder schneidend sein. Ihre Lage zueinander kann man aus ihren Funktionsgleichungen ablesen. Die Geraden sind schneidend. Sie haben einen Schnittpunkt. f: y = 2x – 1 g: y = –x_ 2 + 1,5 kf ≠ kg Die Geraden sind identisch (zusammenfallend). Sie haben unendlich viele Schnittpunkte. f: x + y = 3 ⇒ y = –x + 3 g: 3y = –3x + 9 ⇒ y = –x + 3 kf = kg und df = dg Die Geraden sind parallel. Sie haben keinen Schnittpunkt. f: y = 2x + 2 g: y = 2x – 1 kf = kg und df ≠ dg Orthogonale Geraden: Stehen zwei Geraden f und g im rechten Winkel aufeinander, dann ist kf = – 1__ kg oder kf · kg = –1. Bestimmung des Schnittpunkts zweier Geraden Sind zwei Geraden schneidend, dann kann man die Koordinaten des Schnittpunkts bestimmen: 1) Graphisch: Zeichnet man die Geraden, kann man den Schnittpunkt aus dem Koordinatensystem ablesen. 2) Rechnerisch: Man löst das zugehörige lineare Gleichungssystem. Das dabei als Lösung erhaltene Zahlenpaar entspricht den Koordinaten des Schnittpunkts der Geraden. (siehe Kapitel 6) B 5.23 B D Entscheiden Sie ohne Zeichnung, wie die vier gegebenen Geraden zueinander liegen und begründen Sie Ihre Entscheidung. Fertigen Sie anschließend zur Kontrolle eine Grafik an. f: y = –4x + 6, g: y = –4x – 4, h: 2y = –8x – 8, i: 2y = 8x – 8 Lösung Wir formen zunächst h und i auf die explizite Form um, damit wir die Steigung k und den Ordinatenabschnitt d einfach ablesen können: h: y = –4x – 4, i: y = 4x – 4 Wir erkennen: f, g und h haben gleiche Steigung k ⇒ f, g und h können parallel oder identisch sein. Da g und h auch gleiches d besitzen, sind g und h identisch. f ist parallel zu g bzw. h. i schneidet alle drei anderen Geraden. Die Grafik bestätigt die Überlegung. Beispielaufgaben Basiswissen Schneidende Geraden können eine zusätzliche Eigenschaft haben. Wenn sie im rechten Winkel aufeinander stehen, spricht man auch von orthogonalen Geraden. 182 5 Funktionale Zusammenhänge Was Sie erwartet Motivationsaufgaben 5.4 Die Lagebeziehung zweier Geraden Sie erfahren, wie zwei Geraden zueinander liegen können. Sie lernen, wie man aus den Funktionsgleichungen die Lage zweier Geraden zueinander erkennen kann. Sie lernen gemeinsame Punkte zweier Geraden aus einer Grafik abzulesen. Besonders in diesem Abschnitt können die im Anhang beschriebenen Technologien sinnvoll eingesetzt werden. M 5.13 Ein kleines Forschungsprojekt In den folgenden farbigen Kästchen sind jeweils 2 lineare Funktionen angegeben. f(x) = 2x + 1 g(x) = 2x – 1 f: y = –x + 3 g: 2x + 2y = 6 f(x) = –x + 1 g(x) = x – 1 a) Geben Sie zu jeder Funktion die Steigung und den Abschnitt auf der y-Achse an. b) Zeichnen Sie die Graphen jeweils paarweise in ein Koordinatensystem. Wählen Sie dazu auf der x- und y-Achse die gleiche Skalierung. c) Vergleichen Sie die Graphen innerhalb der unterschiedlichen Farbkästen. Was können Sie über die Lage der Geraden zueinander sagen? d) Welchen Zusammenhang zwischen der Lage der Geraden und ihren Steigungen bzw. Abschnitten auf der y-Achse können Sie erkennen? Erklären Sie Ihre Beobachtungen. M 5.14 In dem Diagramm sind die Lösungsmengen der beiden gegebenen Funktionsgleichungen dargestellt. h: y = x – 3 i: y = 5 – 3x a) Welche Gerade gehört zu welcher Gleichung? Tragen Sie die richtigen Bezeichnungen in die Grafik ein und diskutieren Sie Ihre Entscheidung mit Ihren Mitschülerinnen und Mitschülern. b) Lesen Sie aus dem Diagramm zu jeder Gleichung drei Lösungspaare (Punkte) ab. Überprüfen Sie rechnerisch, ob Sie auch richtig abgelesen haben. c) Ermitteln Sie aus dem Diagramm die gemeinsame Lösung der beiden Gleichungen. Überprüfen Sie rechnerisch, ob das abgelesene Zahlenpaar die beiden Gleichungen auch wirklich löst. d) Lösen Sie die Gleichung x – 3 = 5 – 3x. Was hat die Lösung dieser Gleichung mit den beiden Ausgangsgleichungen zu tun? 137 4 Lineare Gleichungen und Ungleichungen | Erinnern, Können, Anwenden A 4.1 A B Übersetzen Sie die folgenden Texte in je eine Gleichung. Bestimmen Sie die Lösungen der Gleichungen. a) Das Vierfache einer Zahl ist 48. b) Das Doppelte einer Zahl vermindert um 12 ergibt 10. c) Die Summe einer Zahl und ihrer Hälfte ergibt 33. A 4.2 B Lösen Sie die Gleichungen mithilfe von Äquivalenzumformungen. a) 4x – 2 = 3x + 6 b) 24 + (10 – x) = 4x + 12 c) 4,2 – 2x = 3 · (x + 1,4) d) 3x + 6 = 3x – 6 e) 4 · (x + 3) = 12 + 4x f) 3 · (2x – 6) = 3x + 9 A 4.4 B Lösen Sie die Gleichungen. Machen Sie die Probe für x = 1 bzw. a = 2. a) 2x – (4 – 5x) = 10 b) (x – 12)2 = (x + 12)2 c) (x + 3)2 = x2 + 18 d) 2x2 – (1,5 + x)2 = (x + 0,5)2 e) (12 – 5a) · (3a + 2) = 15a · (1 – a) f) (x – 1 3) 2 = (1 3 – x) 2 A 4.5 B Lösen Sie die Bruchgleichungen in G = ℚ. Ermitteln Sie auch die Definitionsmengen. a) 3___ a–1 + 4 ____ a2 –a = 1__ 2a b) 3___ x–1 – 2 ____ x2 –1 = 1___ x+1 A 4.6 B Lösen Sie die Gleichungen jeweils nach beiden Variablen auf. a) p · V = 10 b) 4x + 3y = 10 c) 5(x – 2y) = y – (x + 3) d) G · p 100 = 20 e) 0,5 = v · t f) a + b 2 = 2a + b A 4.7 A B Zahlenrätsel a) Addieren Sie jeweils zu Zähler und Nenner von 2_ 5 dieselbe Zahl und dieselbe Zahl und Sie erhalten 9__ 10 (2, 1). Geht das? b) Finden Sie zu der folgenden Gleichung eine Rätselaufgabe: 2+x ___ 3+x = 3+x ___ 2+x A 4.8 A B D Das folgende Problem kann man mit einer Verhältnisgleichung lösen. 750 g Obst kosten 3,50 €. Wie viel kosten 1400 g Obst? 750 ___ 3,5 = 1400 ____ x a) Begründen Sie den Lösungsansatz. Rechnen Sie. b) Ein Radfahrer schaut nach 40 Minuten auf seinen Tacho und stellt fest, dass er 18 km zurückgelegt hat. Ermitteln Sie, wie weit er kommt, wenn er mit der gleichen Geschwindigkeit insgesamt 2 Stunden fährt. A 4.9 A B Ein Gewinn von € 7000 wird unter 4 Preisträgern wie folgt verteilt: Der 1. Preis erhält um € 2 500 mehr als der 2. Preis. Der dritte Preis erhält um € 250 mehr als die Hälfte des zweiten Preises. Der 4. Preis erhält um € 100 weniger als ein Drittel des 2. Preises. Es bleiben noch € 100 im Gewinntopf für die nächste Verlosung. Berechnen Sie die Höhe der einzelnen Gewinne. Stellen Sie dazu eine lineare Gleichung in einer Variablen auf. A 4.3 A B Der Umfang des Trapezes ist 34 cm. Stellen Sie eine Gleichung auf und bestimmen Sie damit die Seitenlängen. Machen Sie die Probe. Den Begriff „reziprok“ kann man dabei gut verwenden. 136 4 Lineare Gleichungen und Ungleichungen Verhältnis und Proportion Der Quotient zweier Zahlen, Größen oder Terme wird auch als Verhältnis bezeichnet. a : b = a b bedeutet in Worten: „a verhält sich zu b ….“. Werden zwei Verhältnisse gleichgesetzt, erhält man eine Verhältnisgleichung oder Proportion. a : b = 1 : 2 bedeutet in Worten: „a verhält sich zu b wie 1 zu 2.“ Zwei veränderliche Größen oder Terme sind zueinander (direkt) proportional, wenn ihr Quotient für alle Elemente der Grundmenge konstant k ist. k heißt Proportionalitätsfaktor. y x = k bzw. y = k · x Prozentrechnung Prozentsatz p% = 30 % 100 % Anteil A = 150 Grundwert G = 500 30 % von 500 sind 150 30 nennt man Prozentsatz p. 500 ist der Grundwert G. 150 der Anteil A. A … Anteil oder Prozentwert A = G · p 100 G … Grundwert G = 100 · A p p … Prozentsatz in % p = 100 · A G Wichtige Begriffe aus Wirtschaft und Geldwesen K0 … Anfangskapital (= Grundkapital) Grundwert Kn … Kapital nach n Zinsperioden (= Grundkapital + Zinsen) p (= i) % … Prozentsatz = Zinssatz (prozentueller Zuwachs des Kapitals) Prozentsatz Z … Zinsen, die ein Kapital in einer Zinsperiode erbringt Anteil Bei der Zinsenrechnung kann genauso gerechnet werden wie bei der Prozentrechnung. Z = K0 · p 100 (Z = K0 · i) Ungleichung Eine Ungleichung besteht aus zwei Termen, die durch eines der Zeichen < (kleiner), > (größer), ≤ (kleiner oder gleich), ≥ (größer oder gleich) verbunden sind. Eine Ungleichung kann von beiden Seiten gelesen werden, d.h. a < b ⇔ b > a. Die Menge der Elemente x aus der Grundmenge G, die eine Ungleichung in eine wahre Aussage überführen, heißt Lösungsmenge L. Multipliziert man eine Ungleichung mit einer negativen Zahl oder dividiert man sie durch eine negative Zahl, so „dreht sich das Ungleichheitszeichen um“. MATHEMATIK > Angewandte Mathematik
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