68 POLYTECHNISCHE SCHULE | BERUFLICHE BILDUNG | ALLGEMEINBILDUNG → Das solide Mathematik-Buch für die HTL → Aufbauende Inhalte, umfangreiche Aufgabensammlung → Mit ausgewogen konzipierten Wissens-Checks zur Selbstkontrolle am Ende jedes Kapitels (Lösungen im Buch) → Viel Anschauungsmaterial zum Einsatz von MathCad Prime, TINspire CAS, GeoGebra und Excel → Englische Aufgaben ab Band 3 → Optimale Vorbereitung auf die sRDP vom 1. Jahrgang an → Lösungen und Ausführliche Lösungen zusätzlich erhältlich Titel E-Book E-Book Solo E-BOOK+ E-BOOK+ Solo Ingenieur-Mathematik 1 180338€ 29,91 207670€ 22,31 205172€ 38,03 207738€ 28,96 Ingenieur-Mathematik 2 180341€ 27,81 207671€ 20,75 210379€ 34,51 211497€ 26,53 Ingenieur-Mathematik 3 180342€ 28,07 207672€ 20,95 210380€ 34,77 211498€ 26,73 Ingenieur-Mathematik 4 185276€ 28,45 207694€ 21,23 210381€ 35,15 211499€ 27,02 E E+ Ingenieur-Mathematik kompetenzorientiert Timischl, Kaiser Schultyp: 4100 E E-Book E+ E-BOOK+ L BiBox für Lehrpersonen BiBox – Lösungen O OMNIA E-BOOK+ | Inhalte 19–43 Lernvideos 120–400 Technologiematerialien 2–20 Mathe-Trainer-Aufgaben mit Unteraufgaben 10–33 Grafische Übungen 9–13 Simulationen 9–37 interaktive Übungen mit 1–6 Unterübungen Als Lehrperson eigenes Material hochladen, z. B. Arbeitsblätter GRATIS: Ausführliche Lösungen für Lehrpersonen nach Authentifizierung in digi4school Voll-Version Demo-Version 5 1.1 Schnelleinstieg 1 Zahlen und Variablen 1.1 Schnelleinstieg Dieser erste Abschnitt ist ein kurz gefasster Einstieg in wesentliche Themen dieses Bandes und bietet zugleich eine Wiederholung einfacher mathematischer Inhalte. Vereinfache: a) 8 – 5 + 1 b) 7 – 3 · (–2) c) 1 2 – 1 3 + 1 4 d) ( 1 2) 2 + 3 4 e) 4 · 1 3 + √ _16 6 f) –3 : 1 2 g) 3 4 · 5 2 h) 3 4 : √ _ 4 i) 3 3√ _ 8 : 1 5 j) 2 · 3 · 5 6 · 10 + 4 8 k) 2 · (2 3 – 1 6) l) 2 3 – 2 · 1 6 m)a – (b + a) n) –2 · (–b + 2) – b o) 2 · (a · b) – a · b p) a + a 2 q) 2 · x 3 – x r) a2 3 – ( a 2) 2 s) a – 2 – 4a 2 t) 1 2 – a – 1 2 Lösung a) 4 b) 13 c) 5 12 d) 1 e) 2 f) –6 g) 15 8 h) 3 8 i) 15 2 j) 1 k) 1 l) 1 3 m)–b n) b – 4 o) a p) 3a 2 q) – x 3 r) a2 12 s) 3a – 1 t) 1 – Löse folgende Gleichung nach der auftretenden Variablen: a) 2x + 3 = 4 b) 1 2 · (t + 1) = 2 c) u + 2 = 3 · (2u – 1) Lösung Um eine Gleichung zu lösen, versucht man diese solange umzuformen, bis man die Lösung ablesen kann. Dazu – addiert oder subtrahiert man auf beiden Seiten der Gleichung die gleiche Zahl Variable oder – multipliziert beide Seiten der Gleichung mit der gleichen Zahl oder Variablen oder durch diese (solange es zu keiner Division durch null kommt). – Beide Seiten der Gleichung können auch vertauscht werden. Die Umformung kann rechts neben der Gleichung in einer Kurzform angeschrieben werden. Es empfiehlt sich, die Richtigkeit der Lösung durch eine Probe zu ü berprü fen. a) 2x + 3 = 4 +3=4 |–3 b) 1 2 · (t + 1) = 2 +1)=2 |·2 2x = 1 = 1 | : 2 2 · 1 2 · (t + 1) = 2 · 2 2x 2 = 1 2 t + 1 = 4 | – 1 x = 1 2 t = 3 Probe: 2 · 1 2 + 3 = 4; stimmt. Probe: 1 2 · (3 + 1) = 2; stimmt. Beispiel 1.1: Rechnen mit Zahlen und Variablen B Beispiel 1.2: Lösung einfacher Gleichungen B 4 Die Mathematik gehört zu den ältesten Wissenschaften – die ältesten Zeugnisse mathematischer Tätigkeit stammen aus dem alten Ägypten (ca. 1700 v. Chr.) und waren ganz auf praktische Anwendungen ausgerichtet. Praktische Anwendungen der Mathematik in frü hen Hochkulturen • Vermessung der Felder nach jeder der jährlichen (Nil-)Überschwemmungen • Verteilung von Geldbeträgen auf mehrere Arbeiter • Berechnung des Getreidebedarfs fü r eine bestimmte Brotmenge • Berechnungen beim Pyramiden- und beim Hausbau • Organisation größerer Gemeinschaften Abb. 1.1 Feldvermessung nach der jährlichen Nilschwemme im alten Ägypten Von den Griechen wurde die Mathematik erstmals als Wissenschaft betrieben. Nicht die Anwendung, sondern das logische Beweisen stand im Vordergrund. Bis in das 19. Jahrhundert wurde die Mathematik trotzdem vorwiegend im Hinblick auf ihre unmittelbare Anwendbarkeit betrieben, später traten vermehrt auch abstrakte Überlegungen hinzu. Praktische Anwendungen heute • Computertomographie CT: wesentliche Grundlagen stammen vom österreichischen Mathematiker Johann Radon, 1887–1956 • Datenverschlü sselung • Beschreibung von Vorgängen in Natur, Technik und Wirtschaft (sie dient in diesen Bereichen als Instrument zur Informationsgewinnung) Mathematik als Unterrichtsfach Als Unterrichtsfach ist sie grundlegend fü r die technischen Fachgegenstände und die berufliche Praxis. Unsere naturwissenschaftliche und technische Umwelt ist, besonders auch in Anbetracht zunehmender Digitalisierung und kü nstlicher Intelligenz, ohne Mathematik nicht vorstellbar. Der Gegenstand „Angewandte Mathematik“ in einer HTL hat die Aufgabe, sowohl die mathematischen Anforderungen aus den technischen Fachgegenständen als auch die mathematischen Voraussetzungen fü r eine Universitätsreife zu erfü llen. Die Autoren wü nschen allen Schü lerinnen und Schü lern viel Erfolg im Mathematik-Unterricht und mit dieser Buchserie. · b a 2 = oder 327 6.3 Lineare Gleichungssysteme in drei oder mehr Variablen 6.3 Lineare Gleichungssysteme in drei oder mehr Variablen Die Vorgangsweise ist grundsätzlich gleich wie bei Gleichungssystemen in zwei Variablen. Das auf Seite 311 angefü hrte Lösungsverhalten gilt auch fü r ein lineares Gleichungssystem mit mehr als zwei Variablen: Jedes lineare Gleichungssystem, egal in wie vielen Variablen und mit wie vielen Gleichungen, hat entweder • genau eine Lösung oder • keine Lösung oder • unendlich viele Lösungen. S Abb. 6.12 Genau eine Lösung Abb. 6.13 Es gibt keinen Punkt, der auf allen Ebenen liegt; keine Lösung Abb. 6.14 Unendliche viele Lösungen Wie sich eine lineare Gleichung grafisch als Gerade darstellen lässt, so kann eine lineare Gleichung in drei Variablen − wie in „Ingenieur-Mathematik 2“ gezeigt wird, grafisch als Ebene dargestellt werden. Nur dann, wenn die das Gleichungssystem darstellenden Ebenen einander in einem Punkt S schneiden (Abb. 6.12), gibt es genau eine Lösung. In Abb. 6.13 ist ein Fall dargestellt, bei der es keinen Punkt gibt, der auf allen drei Ebenen liegt: Mindestens zwei Ebenen sind parallel. Dies bedeutet, dass es keinen Punkt gibt, der auf allen drei Ebenen liegt. In Abb. 6.14 ist ein dritter grundsätzlich möglicher Fall dargestellt: Die drei Ebenen schneiden einander in einer Geraden. Jeder Punkt dieser Gerade liegt daher auf allen drei Ebenen, es gibt somit unendlich viele Lösungen. Die numerische Lösung kann wieder mit den gleichen Verfahren wie bei einem linearen Gleichungssystem in zwei Variablen erfolgen. Löse das Gleichungssystem: I: 4 x + 5 y − z = 11 II: 2 x + 3 y + 2 z = 14 III: x − y + 3 z = 8 Lösungsverhalten eines linearen Gleichungssystems Beispiel 6.66: Lösung eines linearen Gleichungssystems in drei Variablen B C 6 Lineare Gleichungssysteme 326 6.57 Zwei Ortschaften A und B sind 180 km voneinander entfernt. Gleichzeitig starten ein Kleinmotorrad von A nach B und ein Motorrad von B nach A. Sie treffen einander nach 1 Stunde und 12 Minuten. Erhöht das Kleinmotorrad seine Geschwindigkeit um 25% und startet es außerdem um 12 Minuten frü her als das Motorrad, so treffen sie einander eine Stunde nach Abfahrt des Motorrades. Ermittle die Geschwindigkeit des Motorrades sowie die ursprü ngliche Geschwindigkeit des Kleinmotorrades. Sonstige Aufgaben 6.58 Wirken zwei Kräfte in gleicher Richtung, so ist die Resultierende 1800 N; wirken sie in entgegengesetzter Richtung, so ist sie 200 N. Berechne, wie groß die Kräfte sind. 6.59 Zwei Massen unterscheiden sich um 30 kg. Beide erfahren die gleiche Beschleunigung, wenn auf die kleinere eine Kraft von 120 N und auf die größere eine Kraft von 300 N ausgeü bt wird. Ermittle die beiden Massen und den Wert der Beschleunigung. (Hinweis: F = m×a) 6.60 Erhöht man die Spannung um 10 V und verringert den Widerstand um 5 Ω, so fließt ein Strom von 6 A. Verringert man die Spannung um 20 V und erhöht den Widerstand um 10 Ω, so fließen 2 A durch den Widerstand. Berechne die Ausgangsspannung sowie den ursprü nglichen Widerstand. (Hinweis: U = R×I) 6.61 Fü r den Besuch einer Veranstaltung gibt es unterschiedliche Preise fü r Erwachsene und Kinder. Eine Gruppe von 8 Erwachsenen und 5 Kindern zahlt insgesamt € 50 Eintritt, eine Gruppe von 10 Erwachsenen und 8 Kindern zahlt € 66 Eintritt. Ermittle die Preise der Eintrittskarten. 6.62 Ein Betrag von € 5.000 wird mit 100-Euro- und 50-Euro- Banknoten bezahlt, insgesamt mit 70 Banknoten. Ermittle, wie viele Banknoten es von jeder Art gibt. 6.63 Die Gesamtkosten K eines Betriebes lassen sich annähernd durch eine lineare Kostenfunktion beschreiben. Bei einer Produktionsmenge von 20 Stü ck betragen die Gesamtkosten € 70.000; bei einer Stü ckzahl von 80 betragen sie € 130.000. Bestimme die Fixkosten und die variablen Kosten pro Stü ck. 6.64 Eine Firma setzt die erzeugten Produkte P1 und P2 mit einem Aufschlag von 20% bzw. 30% ab. Ein Käufer nimmt beide Produkte zu einem Gesamtpreis von € 3.700. Nach einer neuen Kalkulation mü ssen auf beide Verkaufspreise nochmals 20% bzw. 30% aufgeschlagen werden. Nun kosten die beiden Produkte zusammen € 4.570. Ermittle die ursprü nglichen Verkaufspreise beider Produkte. 6.65 Eine Aufgabe aus einem Rätselheft: Theresa ist 16 Jahre alt. Sie ist doppelt so alt wie Matthias war, als Theresa so alt war, wie Matthias heute ist. Bestimme, wie alt Matthias heute ist. Lösung auch durch gezieltes Probieren, da angenommen werden kann, dass die Alterswerte ganzzahlig sind. A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C MATHEMATIK > Angewandte Mathematik
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