67 POLYTECHNISCHE SCHULE | BERUFLICHE BILDUNG | ALLGEMEINBILDUNG MATHEMATIK > Angewandte Mathematik Ingenieur-Mathematik Aufgabensammlung Reifeprüfung Timischl, Kaiser Schultyp: 4100 Zur optimalen Vorbereitung auf die standardisierte Reifeprüfung bietet dieses Werk eine umfangreiche Aufgabensammlung im Doppelseitenprinzip. → Auf den linken Seiten sind die jeweiligen Aufgabenstellungen angeführt und auf den rechten die zugehörigen Lösungen. → Unteraufgaben („Items“) sind nach ihrer Handlungskompetenz gekennzeichnet. → Teil-A-Aufgaben für alle Schulformen einer BHS → Teil-B-Aufgaben HTL-spezifisch (Cluster HTL1 sowie HTL2) → Auch für den IV. Jahrgang geeignet. Ergänzende Materialien als Download: → Lösungen mittels MathCad Prime 6.0 → Zusätzliche Aufgaben Titel SBNR ISBN Preis Ingenieur-Mathematik Aufgabensammlung Reifeprüfung 180509 978-3-7055-2719-5 € 20,65 Aus: Ingenieur-Mathematik Aufgabensammlung Reifeprüfung 136 Teil-B-Aufgaben Rotationskörper a) Für das Volumen eines Kugelsegmentes gilt: V =πh2 (r −h_ 3). – Zeigen Sie dies mithilfe der Integralrechnung. b) Ein halbkugelförmiger Behälter wird mit einer Flüssigkeit von zeitlich gleichbleibender Flussstärke i = dV_ dt gefüllt, wobei V die Füllmenge im Behälter ist. Hinweis: Die Füllmenge V im Behälter wird durch das Volumen eines Kugelsegments angegeben. – Ermitteln Sie mittels impliziter Differentiation die Steiggeschwindigkeit ν=dh_ dt der Flüssigkeit im Behälter. – Zeigen Sie, dass die Steiggeschwindigkeit νindirekt proportional zum Inhalt der Flüssigkeitsoberfläche ist. c) DasVolumenVeinerKugelsolldurchMessungdesRadiusraufhöchstens3%genaubestimmt werden. – Berechnen Sie, wie groß in diesem Fall der relative Fehler bei der Messung des Kugelradius r höchstens sein darf. d) Für das Volumen eines Rotationskörpers gilt: V=π·∫ 0 5 (x+1)2 dx−π·∫ 1 5 4·(x−1)dx – Besch eschreiben und skiz skizzieren Sie diesen Körper. Möglicher Lösungsweg a) In der Abbildung entsteht das Kugelsegment durch Rotation um die y-Achse. Das Volumen kann mithilfe von Volumenelementen dV („IngenieurMathematik 3“, Abschnitt 7.1) geführt werden. Jedes Volumenelement dV gibt das Volumen einer Zylinderscheibe der Höhe ∆y = dy und dem Radius x an. Wegen x2 = r2 −y2 ist dV= x2·π·dy= (r2 –y2)·π·dy V=∫ V dV=π· ∫ r–h r (r2 –y2) dy=π·[r2·y–1_ 3·y3] r–h r = =π·{r3 –1_ 3·r 3 –[r2·(r–h) –1_ 3 (r–h) 3] =2_ 3·r 3 – (r–h)·[r2 –1_ 3·(r–h) 2]} = =π·{2_ 3·r 3 – (r–h)· 1_ 3· [2r2 +2·r·h–h2]} = =π· 1_ 3·[2r 3 – (2r3 +2r2·h–r·h2 –2r2h–2r·h2 +h3)] =π_ 3· [3r·h2 –h3] = =πh2 (r–h_ 3) h y x P x|y = P x( ) |y dy y x r h y x 137 HTL-Cluster 2 b) • Volumen eines Kugelsegmentes: V =πh2 (r–h_ 3) i =dV_ dt = d_ dt [π·h2·(r–h_ 3)] =π· d_ dt [h2·r–h3_ 3 ] =π·[2h·r· dh_ dt –h2· dh_ dt ] = =π·[2h·r–h2]· dh_ dt ⇒ν=dh_ dt = i__ π·(2h·r–h2) = i__ π·h·(2r–h) • Ist A der Inhalt der Flüssigkeitsoberfläche, so gilt: A=πρ2. ρ ist der Radius der Flüssigkeitsoberfläche. Aufgrund des Höhensatzes im rechtwinkligen Dreieck ABC (Dreieck im Halbkreis) gilt: ρ2 =ℎ·(2r −h). Damit ist ν= i__ π·h·(2r–h) = i_ ρ2π = i_ A. Die Steiggeschwindigkeit ν ist damit indirekt proportional zu A. Bei Verdopplung, Verdreifachung usw. vonνhalbiert, drittelt usw. sich A. c) Gefragt ist der relative Maximalfehler (die relative Messunsicherheit) ∆r_ r0 , wobei r0 der Kugelradius und ∆r der absolute Maximalfehler (die Messunsicherheit) des Radius ist. V0 = 4π_ 3 ·r0 3 ist das Kugelvolumen beim Radius r 0. Allgemein gilt: V =4π_ 3 ·r 3 Absoluter Maximalfehler von V: ∆V≈|V′(r0)|·∆r =4πr0 2·∆r. Relativer Maximalfehler von V: ∆V_ V0 ≈ 4πr0 2·∆r __ 4π_ 3 ·r0 3 =3· ∆r_ r0 ≤0,03 ⇒ ∆r_ r0 ≤0,01=1%. D.h. der relative Fehler für die Messung des Kugelradius darf höchstens 1% betragen. d) Auszugehen ist von der Formel für das Volumen, das bei der Rotation eines Graphen einer Funktion f um die x-Achse für a≤x≤b entsteht: V =π·∫ a b [f(x)]2dx. In der Aufgabe kommen zwei Rotationsvolumina vor: V1 =π·∫ 0 5 (x+1)2dx … Rotation des Graphen von f 1 mit f1(x)=x+1für0≤x≤5 und V2 =π·∫ 1 5 4·(x – 1)dx … Rotation des Graphen von f2 mit f2(x) =2·√ _____ x–1 für 1≤x≤5. Vom RoRotationskörper mit dem Volumen V1 wird der Rotationskörper mit dem Volumen V2 weggenommen. Es entsteht der Rotationskörper der nebenstehenden Abbildung. y x r C B A ρ 2r h– h f₁ f₂ y x –2 –4 –6 2 4 6 0 2 4 6 –f₂ –f₁ → Geeignet für die standardisierte Reifeprüfung → An den aktuellen Lehrplan angepasst Mathematik Formelsammlung für HTL Rohm Schultyp: 4100 E E-Book Titel E-Book E-Book Solo Mathematik Formelsammlung für HTL 2554 € 6,10 206300 € 4,81 E
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