64 POLYTECHNISCHE SCHULE | BERUFLICHE BILDUNG | ALLGEMEINBILDUNG MATHEMATIK > Angewandte Mathematik → Logisch strukturierter und systematischer Aufbau mit vollständig schrittweise gelösten Beispielen → Sorgfältige Vermittlung aller bei den abschließenden Prüfungen geforderten mathematischen Kompetenzen → Anwendungsorientierte Aufgaben stellen Bezug zur Lebens- und Arbeitswelt der Schüler*innen her → Technologieeinsatz mit Hinweisen zur Verwendung: GeoGebra, Excel → Inklusive Mindmaps am Kapitelende → Kurzgefasste Lösungen im Anhang, Lösungsheft mit ausführlichen Lösungen separat erhältlich → Das E-BOOK+ ergänzt das Schulbuch für eine digitale Gestaltung des Unterrichts mit einer Vielzahl an Videos und interaktiven Übungen. Titel E-Book E-Book Solo E-BOOK+ E-BOOK+ Solo Angewandte Mathematik 1 HUM, kompetenzorientiert 175800€ 20,87 207659€ 15,57 205173€ 28,99 207739€ 22,23 Angewandte Mathematik 2 HUM, kompetenzorientiert 180863€ 19,51 207678€ 14,56 210371€ 26,21 211489€ 20,26 Angewandte Mathematik 3 HUM, kompetenzorientiert 185752€ 19,09 207698€ 14,24 210372€ 25,79 211490€ 19,93 Angewandte Mathematik 4 HUM, kompetenzorientiert 190845€ 20,13 207713€ 15,02 210373€ 26,83 211491€ 20,73 Angewandte Mathematik 5 HUM, kompetenzorientiert 195458€ 19,57 207726€ 14,81 210374€ 26,27 211492€ 20,30 E E+ Angewandte Mathematik HUM kompetenzorientiert Timischl, Schwaiger, Teschl, Prugger, Hebenstreit Schultyp: 4710; 4720; 4730 E E-Book E+ E-BOOK+ BiBox – Lösungen O OMNIA E-BOOK+ | Inhalte 14–39 Lernvideos 3–20 Technologievideos (GeoGebra, Excel) 8–15 Mathe-Trainer-Aufgaben mit Unteraufgaben 7–16 grafische Übungen 21–32 interaktive Übungen mit Unterübungen GRATIS: Ausführliche Lösungen für Lehrpersonen nach Authentifizierung in digi4school Voll-Version Demo-Version 165 4 Lineare Funktionen Man erkennt also folgende Bedeutung von k und d in der Funktionsgleichung y = k ‧ x + d: In der Funktionsgleichung y = k ‧ x + d der linearen Funktion f ` ist k jener Wert, um den sich der Funktionswert y verändert, wenn man den x-Wert um 1 vergrößert ` ist d der Funktionswert fü r x = 0. Also f(0) = d. Besitzt jede Gerade die Gleichung y = k ‧ x + d? Wir legen (Abb. 4.33) eine Gerade durch die beiden Punkte A und C. Dabei soll A der Schnittpunkt der Gerade mit der y-Achse und C der Geradenpunkt an der Stelle x = 1 sein. Mit den Bezeichnungen aus Abb. 4.33 gilt fü r jeden Punkt P = (x | y) auf der Geraden auf Grund der Ähnlichkeit des markierten Dreiecks mit dem Dreieck AQP: (y − d) : x = k : 1, also y – d ____ x = k__ 1. Löst man diese Gleichung nach y auf, so erhält man: y = k ‧ x + d „Geradengleichung“ Genauer bezeichnet man die Gleichung y = k‧ x + d als Geradengleichung in der Normalform oder Hauptform. Jede Gerade, die nicht parallel zur y-Achse ist, lässt sich auf die Normalform bringen! Durch Umformung dieser Gleichung erhält man beliebig viele weitere Gleichungen derselben Geraden. Multipliziert man beispielsweise die Gleichung y = 1__ 2 ‧ x − 1 der Gerade aus Beispiel 4.39 mit 2, so ergibt sich die Gleichung 2y = x – 2 oder x – 2y = 2, immer Gleichungen derselben Geraden. Abb. 4.33 x y 1 1 A = (0|d) P = (x|y) y − d d k 0 y x 1 Q C B 2 3 2 Ähnlichkeit: ~ bedeutet „ähnlich“ (bei Dreiecken gleiche Winkel): ΔA1B1C1 ~ ΔA2B2C2 genau dann, wenn a1 : b1 : c1 = a2 : b2 : c2 α b1 c1 A1 B1 C1 α β c2 A2 B2 C2 a1 β γ a2 b2 γ Aufgaben 4.42 Finde heraus, welcher der folgenden Graphen eine lineare Funktion darstellt. Begrü nde deine Auswahl: 4.43 Ermittle zeichnerisch die Wertemenge W der wie folgt gegebenen Funktion und gib sie in Intervallschreibweise an. Bestätige das Ergebnis rechnerisch. a) y = 2x – 3; D = [–3; 4] b) 2x – 3y = 5; D = [–2; 10] c) 2y + 3x – 8 = 0; D = [–3; 3] 4.44 Ermittle zeichnerisch die Definitionsmenge D der wie folgt gegebenen Funktion und gib sie in Intervallschreibweise an. Bestätige das Ergebnis rechnerisch. a) y = 3x; W = [3; 6] b) 2y – 3x = 6; W = [0; 6] c) –2x – 2y = 1; W = [–2; 5] 4.45 Zeichne den Graphen der linearen Funktion y = −x + 3, wenn D = {−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}. 4.46 Prü fe, ob die folgende Funktion linear ist. Gib gegebenenfalls an, wie groß die Parameter k und d der Funktionsgleichung y = kx + d sind. a) y = –x b) y = 2x + x3 c) y = 1 + 2x d) y = 4 e) y = √ ______ 2x + 1 f) y = | x | A B C D 1 x y 1 1 x y 1 1 x y 1 1 x y 1 A B C D A B C D A B C D A B C D 164 Funktionen 4 4.2 Lineare Funktionen Lineare Funktion und Gerade Wie Kapitel 4.1 gezeigt hat, haben Funktionen verschiedenste Funktionsgleichungen und Funktionsgraphen. Bestimmte Funktionen lassen sich zu Gruppen zusammenfassen. Eine in der Praxis sehr häufig vorkommende Funktion ist die lineare Funktion. Eine Funktion mit einer Gleichung der Form y = k ‧ x + d, wobei k und d jeweils ein beliebiger fester Wert sind, heißt lineare Funktion. Ist D = ℝ so ist ihr Graph eine Gerade, weshalb in diesem Fall die Gleichung y = k ‧ x + d auch als Geradengleichung bezeichnet wird. Beispiele fü r lineare Funktionen: y = 5x + 3, y = x__ 2 − 4, y = −2x usw. k = 5 d = 3 k = 1__ 2 d = − 4 k = −2 d = 0 LINEARE FUNKTION Beispiel 4.41: Eigenschaften einer linearen Funktion Stelle die Funktion f : y = 1__ 2 ‧ x − 1 mit D = ℝ, grafisch dar. Lösung Wir erstellen zunächst eine Wertetabelle der Funktion fü r einige Argumente x: Wertetabelle: Funktionsgraph: Man sieht: Die Funktion f besitzt eine Gleichung der Form y = k ‧ x + d (k = 1 __ 2 , d = −1) ist also eine lineare Funktion. Man sieht: ` Vergrößert man den x- Wert um 1, so verändert sich der Funktionswert jeweils um denselben Wert k = 1 __ 2 . ` Der Funktionswert fü r x = 0 ist d = −1, also f(0) = −1. Man sieht (Abb. 4.31): ` Vergrößert man den x-Wert um 1 so verändert sich der Funktionswert jeweils um denselben Wert k = 1 __ 2 . ` Der Schnittpunkt von f mit der y-Achse hat die Koordinaten (0 | −1). d =−1 kann man also an der y-Achse ablesen. Anmerkung: Ist die Definitionsmenge nicht gleich ℝ, sondern eine diskrete Menge, so besteht der Graph einer linearen Funktion aus Punkten, die auf einer Geraden liegen. Abb. 4.32 zeigt den Graphen der linearen Funktion y = 1__ 2 ‧ x − 1, nun aber mit der Definitionsmenge D = {–2, –1, 0, 1, 2, 3}. Er besteht aus 6 Punkten. A B C D y 2 3 1 1 x 2 −2 −1 −2 −1 Abb. 4.31 +1 +1 +1 +1 x y –2 –2 –1 –1,5 0 –1 1 –0,5 2 0 3 0,5 + 1 __ 2 + 1 __ 2 + 1 __ 2 + 1 __ 2 k d Abb. 4.32 Lineare Funktionen werden in der Praxis aufgrund ihrer Einfachheit oft auch dann zur Beschreibung von Abhängigkeiten eingesetzt, wenn dies nur näherungsweise möglich ist. y 2 3 1 1 x 2 −2 −1 −2 −1 1 2 + +1 0 67 2 Rechnen mit Termen Seite 2.1 Variablen und Terme 68 Was ist ein Term? – Aufstellen und Interpretieren von Termen 2.2 Addition und Subtraktion von Termen 73 Addieren und Subtrahieren von Monomen – Addieren und Subtrahieren von Polynomen – Klammerterme 2.3 Multiplikation von Termen 76 Multiplizieren und Dividieren von Monomen – Multiplizieren von Binomen und Polynomen 2.4 Rechnen mit Potenzen 81 Potenzschreibweise – Addieren und Subtrahieren von Potenzen – 5 Rechengesetze fü r Potenzen – Potenzen mit negativen Exponenten 2.5 Die binomischen Formeln 90 (a + b)² , (a – b)² , (a + b) (a – b) 2.6 Faktorisieren 94 Faktorisieren durch Herausheben – Faktorisieren mit den binomischen Formeln 2.7 Rechnen mit Bruchtermen 97 Grundlegendes ü ber Bruchterme – Erweitern und Kü rzen von Bruchtermen – Grundrechnungsarten mit Bruchtermen 2.8 Eine kurze Bemerkung ü ber die Division von Polynomen 107 Polynomdivision mit Technologieeinsatz Die Universalität der Termsprache: Die Abbildung zeigt eine Seite aus einem in chinesischer Sprache verfassten Mathematiklehrbuch. 2 ` die Bezeichnungen, den Aufbau und die Eigenschaften der Zahlenmengen ℕ, ℤ, ℚ, ℝ nennen und Zahlen diesen Mengen zuordnen ` Zahlen von Festkommadarstellung in Gleitkommadarstellung umwandeln und umgekehrt ` mit Zahlen in Gleitkommadarstellung mit und ohne Technologieeinsatz operieren ` Angaben in Prozent verstehen und als Zahlen angeben ` Anwendungsaufgaben mit Prozentzahlen lösen ` die Kenntnisse ü ber Fest- und Gleitkommadarstellung von großen und kleinen Zahlen auf den Bereich Maße und Maßeinheiten anwenden ` die Maßeinheiten fü r Längen-, Flächen-, Volums-, Masse- und Zeiteinheiten nennen ` die Vorsilben Kilo, Mega, Giga, Tera, Dezi, Zenti, Milli, Mikro, Nano sinnvoll bei Anwendungsaufgaben interpretieren ` Maßeinheiten mithilfe der Potenzschreibweise darstellen und damit Rechenoperationen durchfü hren ` Zahlen runden und die dabei nötige Genauigkeit im Zusammenhang mit Anwendungen abschätzen Wenn du das Kapitel 1 „Zahlen und Maße“ durchgearbeitet hast, dann kannst du … Zusammenfassung Kapitel 1: Zahlen und Maße nano mikro milli … kilo Mega Giga Tera Längenmaße, Flächenmaße, Raummaße Multiplizieren und Dividieren Potenzieren und Wurzelziehen Vorrangregeln Rechenoperationen Rundungsregel Rundungsintervall signifikante Stellen Rechengesetze Rechnen mit Zahlen Verhältnisse Maßstab Prozent, Promille, ppm A = p ___ 100 ‧ G Rechnen mit Änderungsfaktoren Gleitkommadarstellung Gleitkomma- und Festkommazahl Zehnerpotenzen Zahlenmengen natürliche Zahlen ganze Zahlen reelle Zahlen Zahlen und Maße Kapitel 1 Runden Prozentrechnung Massenmaße Zeitmaße, Geschwindigkeitsmaße Umwandlung von Einheiten Vorsilben im internationalen Einheitensystem Größen und Einheiten Primfaktorenzerlegung kgV ggT Primzahlen Intervalle Wurzeln rationale Zahlen Brüche Dezimalzahlen (endlich oder periodisch) Überschlagsrechnung Addieren und Subtrahieren Potenzschreibweise Wurzel Exponent Basis Wurzelexponent Radikand Kommutativgesetz Assoziativgesetz Distributivgesetz 66 Zahlen und Maße 1
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